Vật lý lượng tử

BÀI CŨ:
Hãy viết biểu thức của hệ thức bất định Heisenberg cho biết ý nghĩa của hệ thức này

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
BÀI 1: THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER. HÀM SÓNG, CHUẨN HOÁ VÀ XÁC SUẤT
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Gỉa sử hệ chỉ có một hạt chuyển động trên trục x thế năng U(x)
Năng lượng toàn phần
nhân cả hai vế với hàm
Ta được
Thay
ta được

-Phương trình Schrodinger trong không gian ba chiều có dạng
Hay
Trong đó

Để cho hàm là hàm sóng thì nó phải thoả mãn các điều kiện sau
Nghiệm phải liên tục
Nghiệm phải đơn trị
Nghiệm phải hữu hạn
II. HÀM SÓNG - CHUẨN HOÁ VÀ XÁC SUẤT
HÀM SÓNG VÀ XÁC SUẤT
Hàm sóng: Xét một hạt tự do có năng lượng E xung lượng p một sóng phẳng có thể biểu diễn bởi hàm số phức


b. Xác suất:



Là xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV. Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ thể tích V



2. Chuẩn hoá
Điều kiện chuẩn hoá

Ví dụ áp dụng
VD1: Trạng thái của một hạt được biểu diễn bằng hàm sóng



a. Hãy xác định A
b. Tìm xác suất để hạt nằm trong khoảng từ -a đến +a
Cho biết



BG:
Dựa vào điều kiện chuẩn hoá ta có


b. Ta có








BÀI 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ
ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRODIGER
Bài toán1: Xét một hạt chuyển động trong giếng thế có thành cao vô hạn có thế năng U(x)






Hãy mô tả chuyển động của hạt ?



Trong các miền có hàm sóng bằng 0 ta chỉ xét trong miền 0Phương trình schrodinger



Nghiệm của phương trình
Với


Dựa vào điều kiện biên ta xác định được
Dựa vào điều kiện chuẩn hoá ta có
Như vậy việc giải phương trình schrodinger nó khác với cổ điển là năng lượng chỉ nhận những giá trị gián đoạn

Bài toán 2
Xét một hạt chuyển động trong hố thế có thành cao hữu hạn với

U(x)
Chúng ta chỉ xét với
Ngiệm của các phương trình
Từ các điêù kiện biên ta có
Thay các giá trị của k vào ta có
Nếu
Thì
Sự phân bố các mức năng lượng dưới trong hố thế có thành cao hữu hạn cũng giống như sự phân bố các mức năng lượng có thành cao vô hạn
II. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ
Nhiều vấn đề trong vật lý hạt nhân nguyên tử có thể quy về dao động tử điều hoà những dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng
Năng lượng của hạt bằng


Phương trình schrodinger
Để giải phương trình này người ta đặt
(II1)
Phương trình II1 trở thành


Chúng ta chỉ xét các giá trị
Thay giá trị này vào phương trình trên ta có
Mức năng lượng cơ bản
(II2)
Nghiệm của phương trình II2 có dạng
Trong đó
Là đa thức Hermite với hệ số
Đa thức này thường được biểu diễn dưới dạng
Với hệ số chuẩn hoá là
Nhận xét:
Năng lượng của dao động tử điều hoà bị lượng tử hoá
Năng lượng cực tiểu khác 0
BÀI 3: HÀM SÓNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN. CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG THẾ BẬC THANG
HÀM SÓNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
Xét một hạt có khối lượng nghỉ m năng lượng E xung lượng
Nó tương đương như một sóng phẳng DeBroglie nó được biểu diễn dưới dạng phức
Chúng ta cũng có thể viết
II. CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG THẾ BẬC THANG
Xét một hạt chuyển động trong trườn thế V(x)

Phương trình Schrodinger có dạng
(II.1)
(II.2)
(II.3)
Nếu
Phương trình (II.2) có nghiệm là
Phương trình II.3 có nghiệm là
Là hệ số phản xạ
Là hệ số truyền qua
Như vậy theo cơ học lượng tử thì có sự phản xạ tại x=0 khác với cơ học cổ điển
Nếu
Đặt
Trong miền x<0 vẫn giống như trên, còn trong miền x>0 thì có phương trình sau đây:
Do điều kiện
Hàm số phải hữu hạn nên
GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG III
NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương trình Schrodinger




Điều kiện chuẩn hoá, xác suất
a. Điều kiện chuẩn hoá





b. Xác suất
Mật độ xác suất
Là xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV. Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ thể tích V

3. Hàm sóng phụ thuộc thời gian
II. BÀI TẬP CHƯƠNG III
Bài tập dạng1: Xác định hệ số chuẩn hoá
Bài 1: Cho hàm sóng
Trong đó A,k,a là những hằng số
Hãy xác định hệ số A