VandungPhepdoixungvaogiaitoan Toan 9

PHÉP ĐỐI XỨNG

Trong việc nghiên cứu các tính chất hình học và tìm tòi lời giải, phân tích các bài toán hình học, phép biến hình có vai trò đặc biệt quan trọng.
Trong chương trình toán phổ thông, Phép biến hình được vận dụng giảng dạy và trình bày dưới dạng đơn giản phù hợp với trình độ học sinh là phép đối xứng trục và đối xứng tâm.
Các bài toán giải bằng phép đối xứng rất phong phú và đa dạng, gồm nhiều thể loại: chứng minh, xác định độ dài đoạn thẳng, số đo góc, phát hiện các hệ thức hình học, dựng hình, tìm quỹ tích.
Bài viết này cố gắng sắp xếp các bài toán đó một cách hệ thống nhằm giúp học sinh từng bước nâng cao tư duy học toán trong việc vận dụng phép đối xứng để giải toán hình học có hiệu quả tốt nhất.

A. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ gọi là phép đối xứng trục d.
Phép đối xứng trục d ký hiệu là Sd, điểm M’ gọi là ảnh của điểm M trong phép đối xứng trục d, ký hiệu là:
Sd: M M’




2. Tính chất
Phép đối xứng trục d biến ba điểm A, B, C thẳng hàng thành ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng; nếu B nằm giữa A và C thì B’ nằm giữa A’ và C’.

Chứng minh:
Ta có:
Sd: A A’
B B’
C C’
Suy ra AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’
Do đó AB + BC = AC ( A’B’ + B’C’ = A’C’
Vậy B nằm giữa A, C ( B’ nằm giữa A’, C’.

3. Ảnh của một số hình trong phép đối xứng trục
Trong phép đối xứng trục:
+ Một đường thẳng (hoặc tia) biến thành một đường thẳng (hoặc tia);
+ Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó;
+ Một tam giác biến thành một tam giác bằng nó;
+ Một đường tròn biến thành một đường tròn bằng nó.




B. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho điểm O. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điếm của MM’ gọi là phép đối xứng tâm O.
Phép đối xứng tâm O ký hiệu là SO, điểm M’ gọi là ảnh của điểm M trong phép đối xứng tâm O, ký hiệu là:
SO: M M’


2. Tính chất
Phép đối xứng tâm biến ba điểm A, B, C thẳng hàng thành ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng; nếu B nằm giữa A và C thì B’ nằm giữa A’ và C’.
Chứng minh:
Ta có:
Sd: A A’
B B’
C C’
Suy ra AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’
Do đó AB + BC = AC ( A’B’ + B’C’ = A’C’
Vậy B nằm giữa A, C ( B’ nằm giữa A’, C’.

3. Ảnh của một số hình trong phép đối xứng tâm
Trong phép đối xứng tâm:
+ Một đường thẳng biến thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó;
+ Một đoạn thẳng biến thành một đoạn thẳng bằng nó;
+ Một góc biến thành một góc bằng nó;
+ Một tam giác biến thành một tam giác bằng nó;
+ Một đường tròn biến thành một đường tròn bằng nó.

C. VẬN DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG VÀO GIẢI TOÁN

Bài 1.
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d.
Dựng điểm C thuộc d sao cho AC + CB có độ dài nhỏ nhất.

Giải
Phân tích
Vẽ B’ đối xứng với B qua d. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc d.
Ta có: MB = MB’, do đó
AM + MB = AM + MB’ ( AB’.
Vậy AM + MB đạt min bằng AB’
( M thuộc đoạn thẳng AB’.
Cách dựng
Dựng B’ đối xứng với B qua d.
Nối A với B’, cắt d ở C, ta có
AC + CB = AB’ đạt min.

Chứng minh
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc d.
Ta có AM + MB = AM + MB’ ( AB’, AC + CB’ = AB’.
Vậy AC + CB ( AM + MB.
Biện luận
Bài toán có một nghiệm hình.

Bài 2.
Cho hai đường thẳng a, b và hai điểm A, B.
Dựng điểm C (