Ứng dụng vecto

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình toán ở bậc THPT, vectơ là một khái niệm quan trọng, nó có tính khái quát cao. Nó có thể sử dụng cho cả hình học phẳng lẫn hình học không gian và thậm chí cả đại số. Nhờ vectơ ta có thể đưa tọa độ vào bài toán hình học do đó tránh khỏi những sai lầm về mặt trực quan.Cũng nhờ vectơ nhiều bài toán hình học phẳng,hình học không gian rất khó nếu chỉ giải quyết bằng hình học thuần túy,nhưng lại trở nên đơn giản nếu ứng dụng vectơ. Chính vì vậy, nghiên cứu ứng dụng các vectơ vào việc giải toán hình học, thậm chí cả đại số là một vấn đề thú vị và ý nghĩa
Trong khuôn khổ một chuyên đề nhỏ, chúng tôi chỉ đề cập đến một số ứng dụng phổ biến của vectơ trong việc giải toán. Để thực hiện chuyên đề này chúng tôi đã tham khảo một số quyển sách cũng như các trang web và diễn đàn toán học. Tuy đã rất cố gắng nhưng chắc chắn vẫn còn rất nhiều sai sót mong các bạn thông cảm. Xin chân thành cảm ơn
Tác giả
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1 Định nghĩa vectơ
- Vectơ là một đoạn thẳng định hướng.
- Mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối.
Vectơ có điểm là A và điểm cuối là B được kí hiệu là

Quy ước: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ không. Kí hiệu:
.
Độ dài vectơ
Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đâù mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Độ dài của
kí hiệu:
.
Hai vectơ cùng phương, bằng nhau, đối nhau
Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
Hai vectơ cùng phuuwong có thể cùng hướng hoặc ngược hướng:
• Hai vectơ
,
cùng hướng , kí hiệu:
.
• Hai vectơ ngược hướng, kí hiệu:
.
Hai vectơ
,
bằng nhau, kí hiệu:
.


Hai vectơ
,
đối nhau, kí hiệu:
.


CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Phép cộng vectơ
- Các quy tắc
+ Quy tắc ba điểm:
Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có:

(hệ thức Chasles)
+ Quy tắc hình bình hành:
Nếu ABCD là hình bình hành thì


- Tính chất của phép cộng vectơ
+ Tính chất giao hoán:

+ Tính chất kết hợp:

+ Tính chất của
:

1.2.2 Phép trừ vectơ
- Ta có:

- Quy tắc ba điểm đối với phép trừ vectơ
Cho vectơ
và một điêwmr O bất kì, t luôn có:


1.2.3 Phép nhân vectơ với một số thực
- Định nghĩa: Tích của số thực k với một vectơ
là một vectơ, kí hiệu: k



- Tính chất:
+ Phân phối đối với phép cộng vectơ:

+ Phân phối đối với phép cộng:

+ Kết hợp:

1.3 TỌA ĐỘ VECTƠ
1.3.1 Trục tọa độ
- Định nghĩa: Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị
có độ dài bằng 1.
- Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục: Cho vectơ
; a được gọi là tọa độ của vectơ
trên trục (O;
).
Một điểm M nằm trên trục và
; m là tọa độ của M trên trục (O;
).
Hệ trục tọa độ
- Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trrục Ox, Oy vuông góc với nhau với hai vectơ đơn vị
,
có độ dài bằng 1.
- Tọa độ của vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì với mọi vectơ
, ta có:


Cặp số (u1;u2) được gọi là tọa độ của vectơ

Kí hiệu
= (u1;u2)
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì:


- Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì:


x, y là tọa độ của M, kí hiệu M(x;y).
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ
,
là một số, kí hiệu là
được xác định bởi:


Hệ quả:
- Bình phương vô hướng của vectơ
:

- Điều kiện vuông góc của hai vectơ:

Tính chất
Với mọi
,
,
và số thực k:
-

-

-

Biểu thức tọa độ tích