Ứng dung Tam giác Pascal

Tam giác
Pascal
Số học & Tin học

I.- lịch sử
Blaise Pascal (1623 - 1662)
Tam giác số Pascal
Pascal viết về tam giác số thông qua một quyển sách có tên là "Luận lý trong tam giác số học".
Tam giác Pascal là tên của tam giác số được sắp xếp do Nhà toán học và triết học Pascal công bố cách đây hàng thế kỷ.
Tam giác Pascal
ở Phương Đông
Nhưng Pascal không phải là người đầu tiên nghiên cứu tam giác này, mặc dù công bố công trình nghiên cứu của Ông gây ngạc nhiên cho mọi ngườithời ấy.
Trước đây- vào thế kỉ thứ 10 , một nhà toán học người Ấn Độ nhận thấy các con số này hữu ích cho việc đại diện cho số kết hợp của các âm thanh ngắn và dài trong thơ mét.
Các tam giác này cũng xuất hiện trong những bài viết của Omar Khayyam, nhà thiên văn học ở thế kỷ 17 ,nhà thơ , nhà triết học và các nhà toán học hiện đại ở Iran.
Nhà toán học Trung Quốc Chu Shih Chieh đã miêu tả về tam giác và chỉ dùng trong việc khai triển các hệ nhị thức thuộc dạng trong 1303 luận thuyết “Cổ pháp thát tập phương viên” (Tiếng Anh dich:The Precious Mirror of the Four Elements).
II. Ứng dụng của Tam giác số PASCAL
Tam giác số PASCAL được thiết lập như sau:
+ Dòng thứ nhất gồm 1 số 1. + Dòng thứ hai gồm 2 số 1.
+ Với N > 2, dòng thứ N gồm N số, trong đó số thứ nhất và số thứ N bằng 1, còn các số khác bằng tổng của hai số đứng kề nhau ở dòng thứ N – 1 từ trái qua phải.
với N = 5 ta có tam giác số PASCAL
1.1-liên quan đến hằng đẳng thức
Ta có 7 hằng đẳng thức
  1 * (a + b)² = a² + 2ab + b²
   2 * (a − b) ² = a² − 2ab + b²
   3 * a²− b² = (a + b)(a − b)
   4 * (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  5 * (a − b) ³ = a³− 3a²b + 3ab² − b³
  6 * a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
   7 * a3³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Các hằng đẳng thức thứ 1 , 2 , 4 , 5
-Ta thấy rằng ở phép cộng trong dấu ngoặc thì phá ra hoàn toàn là thế
-Còn nếu là dấu trừ thì dấu cộng sẽ đầu tiên rồi đến dấu trừ ~> cứ thế đan xen nhau
-Xét các biến : a đầu tiên là bình về sau còn lại a và cuối cùng thì mất a~> luỹ thừ của a giảm dần;   b là số thứ 2 đầu tiên là b mũ 0 tiếp là b mũ 1 và cuối cùng là b mũ 2 ~> luỹ thừa của B tăng dần

Có thể thấy tam giác pascal liên quan mật thiết đến hằng đẳng thức
1.2-Tam giác Pascal & nhị thức Newton
Bạn có thể dùng tam giác Pascal để chứng minh nhị thức Newton .
Dùng kết quả của “Nhị thức Newton “ là tổng quát nhất
Có thể xem thêm các tài liệu để hiểu về “Nhị thức Newton “
Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng
Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó.
Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi
Tam giác Pascal & nhị thức Newton
1.3- Thuật toán Pascal trong Tin học
Ứng dụng TG Pascal trong tin hoc là “Thuật toán Pascal ”; đi sâu bạn xem phần Tin học
Giới thiệu vaì Đề bài Tin học như sau: Tam giác Pascal bậc n là tam giác có n + 1 dòng và có dạng:
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1


Trong tam giác số này, giá trị các số trong hàng thứ n tuân theo quy luật sau:
- Số ở cột thứ n+1 và cột thứ nhất luôn bằng 1.
- Mỗi số ở cột n đến cột 2 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó.
Giá trị các số ở hàng n là hệ số khi khai triển (x+y)^n
a. In ra tam giac pascal bậc n.
b. khai triển (x+y)^n
Ví dụ: n=3 thì in: x^3+3x^2y^1+3x^1y^2+y^3
Đề thi “Tin học trẻ”
Cho một tam giác cân:
7
3  8
8   1   0
2   7  4   4
4   5   2   6  5
Từ một đỉnh của cạnh trên của tam giác có thể đi xuống đỉnh của cạnh dưới nằm bên trái hoặc bên phải so với đỉnh trên (vd 1 có thể đi xuống 7 hoặc 4). Hãy tính tổng lớn các số trên đường đi từ đỉnh đầu của tam giác xuống cạnh đáy của tam giác.
Vd: đi theo đường: 7 8 1 4 6 có S=26.
Nhưng nếu đi theo đường 7 3 8 7 5 có S=30.
Đây là tổng lớn nhất có thể đạt được
Dữ liệu vào:
file `tamgiac.inp`
-Dòng đầu ghi n, cho biết số cạnh của tam giác
- Trong n dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi một số ngyên a (a thuộc Z) cho biết số trên mỗi cạnh tam giác.
Kết quả:
file `tamgiac.out`
Ghi một số duy nhất cho biết giá trị lớn nhất trên dường đi từ đỉnh xuống đáy tam giác.
III.- Kết luận
…Tam giác Pascal
Nghe thì khô khan
Trông thì rối mắt
Đọc thì lan man
Ai có “Gan sắt”
Hãy vào tham quan
Tam giác Pascal
Như một “Kỳ quan”!
ST & biên soạn: Phạm Huy Hoạt
8-2011