ứng dụng số phức trong lượng giác

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác
a, Acgumen của số phức z ≠ 0
ĐỊNH NGHĨA 1
        Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
CHÚ Ý
 Nếu φ là một acgumen của z thì mọi acgumen của x có dạng φ + k2π, k ∈


ĐỊNH NGHĨA 2
          Dạng  , trong đó , được gọi là dạng lượng giác của số phức . Còn dạng     được gọi là dạng đại số của số phức z.
b, Dạng lượng giác của số phức
Nhận xét:
- Để tìm dạng lượng giác  của số phức  khác 0 cho trước, ta cần:
1) Tìm r: đó là mô-đun của z,  ; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức.
2)    Tìm  : đó là 1 acgumen của z;    là số thực sao

cho  và  ; số     đó cũng là số đo 1 góc lượng giác của tia đầu

Ox, tia cuối OM
CHÚ Ý
1,   khi và chỉ khi 
2, Khi z = 0 thì  nhưng acgumen của x không xác định ( acgumen của 0 là số thực tùy ý).
3, Cần để ý đối với trong dạng lượng giác    của số phức 

VD1: Biết z ≠0 có một acgumen là φ.
Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
z biểu diễn bởi
thì –z biểu diễn bởi
nên có acgumen là
 
biểu diễn bởi
 
biểu diễn bởi
nên có acgumen là
, vì
 
là một số thực nên
 
có cùng acgumen với
 
 
VD2

Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng p nên có dạng lượng giác là
Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cosφ+ isinφ)
Số  có môđun bằng 2 và một acgumen bằng φ thoả và .

Lấy thì
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Định lý:
Nếu
Thì
Với
Và
3, Công thức Moa-vro và ứng dụng
a) Công thức Moa-vro
Với mọi số nguyên dương n:
Cả 2 công thức trên đều gọi là công thưc Moa-vro
b) Ứng dụng vào lượng giác:
Công thức khai triển lũy thừa bậc 3 của nhị thức  cho ta:
Mặt khác theo công thưc Moa-vro:
Từ đó suy ra:
Tương tự, bằng cách đối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức  với công thức Moa-vro, ta có thể biểu diễn   và   theo các lũy thừa của  và 

c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Từ  công thức Moa-vro, dễ thấy số phức
có 2 căn bậc hai là:
và
Ví dụ:
Căn bậc hai của số phức là kết quả nào sau đây?
Một kết quả khác.
Giải:
Gọi là căn bậc hai của z, ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là . Chọn phương án A.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 
và công thức Moavrơ để tính
Hướng dẫn
Ta có
với phần thực là 
với phần thực là 
 
 
Vậy
2) Tính: 

Hướng dẫn
3) Cho số phức

. Tìm các số nguyên dương n để 

 là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để 

là số ảo?

Hướng dẫn
W là số thực khi
 

, điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Không có m nào để
là số ảo.