Ứng dụng HS DB và NB để chứng minh BDT

Dạng 6
Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức
Chuyên đề: Hàm số
Nội dung
Dạng 6. Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức:
Dạng 6A: Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
Dạng 6B: Bất đẳng thức về hàm số lượng giác
Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao

Dạng 6A
Bất đẳng thức về hàm số
mũ, logarit
Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
Bài tập mẫu
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì ex > 1 + x.
Giải
Xét hàm số f(x) = ex – (1 + x).
Ta có f ’(x) = ex – 1 > 0 x > 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R.
Do đó nếu x > 0 => f(x) = ex – 1 – x > 0 => ex > 1 + x x > 0 (đpcm).
Lưu ý
Bài toán: chứng minh rằng f(x) > 0 thoả mãn với mọi x trong khoảng (a ; b).
Cách giải thường gặp:
Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số.
Nếu hàm số đồng biến trong khoảng (a ; b) thì x (a ; b) => f(a) < f(x) < f(b)
Nếu hàm số nghịch biến trong khoảng (a ; b) thì x (a ; b) => f(b) < f(x) < f(a).
Từ đó suy ra đpcm.
Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
Bài tập tương tự
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì
Giải
Xét hàm số

Ta có ,suy ra hàm số f(x)

nghịch biến khi x > 0 (thực chất hàm số nghịch biến trên R).
Do đó nếu
(đpcm).

Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
Bài tập tương tự (tt)
Lưu ý. Ta có các bất đẳng thức sau:

Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log
Dạng 6B
Bất đẳng thức về hàm số lượng giác

Bài tập mẫu
Chứng minh rằng nếu thì sinx < x < tanx
Giải
Xét hàm số ,
suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R.
Do đó nếu thì f(x) = x – sinx > f(0) = 0 =>sinx < x
Xét hàm số
suy ra hàm số f(x) đồng biến trong .
Do đó nếu thì g(x) = tanx – x > g(0) = 0 => tanx > x
Vậy nếu thì sinx < x < tanx
Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giác
Bài tập tương tự
Chứng minh rằng nếu thì sinx + tanx > 2x.
Giải
Xét hàm số
Nếu thì


Suy ra hàm số f(x) đồng biến trong .
Do đó nếu thì f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) = 0
=> sinx + tanx > 2x (đpcm).
Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giác
Lưu ý
Ta thường gặp các bất đẳng thức sau:
Nếu x > 0 thì
Với mọi x, có bất đẳng thức
Nếu thì 2sinx + tanx > 3x.
Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giác
Dạng 6C
Sử dụng đạo hàm bậc cao

Bài tập mẫu
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì
  Giải
Xét hàm số


suy ra hàm số f ’’(x) đồng biến trên R.
Do đó nếu x > 0 thì f ’’(x) > f ’’(0) = 0, suy ra hàm số f ’(x) đồng biến khi x > 0 .
Do đó nếu x > 0 thì f ’(x)> f’(0) = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến khi x > 0 .
Do đó nếu x > 0 thì (đpcm)
Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc cao
Bài tập tương tự
Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
Xét hàm số
Ta có

suy ra hàm số f ’(x) đồng biến trên R.
Do đó nếu x > 0 thì f ’(x) =ex – sinx – 1 + x > f’(0) = 0 , suy ra hàm số f(x) đồng biến khi x > 0. Do đó nếu x > 0 thì .

Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc cao
Bài tập tương tự (tt)
Do đó nếu x < 0 thì f’(x) = ex – sinx – 1 + x < f(0) = 0 , suy ra hàm số f(x) nghịch biến khi x < 0. Do đó nếu x < 0 thì


Ta được trong mọi trường hợp đều có bất đẳng thức


dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 (đpcm)
Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc cao