Ứng dụng hàm số

Kiểm Tra Bài Cũ
?Nêu các cách giải bài toán: Giải và biện luận theo m, số nghiệm của pt :
x2 -2x-m=0
?Hãy biện luận theo m số nghiệm của pt :
X3 + 3x2 -4 = m
Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

* Tim giao điểm của hai đường
* Viết phương trinh của tiếp tuyến
Sẽ có nhiều vấn đề lý thú đây!! Tớ và các bạn cùng tập trung học và suy nghĩ nhé!!!!
Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đường.
Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C1) . Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C1).

Giải :

M0(x0 ;y0) là giao điểm của (C)và(C1) khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ
y = f(x)
y= g(x)
Do đó để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và (C1) ta giải phương trình :
f(x) = g(x) (1)
Nếu x0,x1.là nghiệm của (1) thì các điểm M0(x0; f(x0)) ; M1(x1; f(x1)) .là các giao điểm của (C)và (C1)
ví dụ 1 : Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm

số y =

Và y=m-x
Giải :
Xét phương trình :
(1) (x1)
? -x2+2x-2 = (m-x)(x-1) (x ?1)

? -x2+2x-2= -x2+ (1+m)x-m (x ?1)

? (m-1)x =m-2 (2) (x ?1)

Biện luận
* m=1 :
(2) có dạng 0x=-1
? (2) vô nghiệm
? Không có giao điểm
Meo!! Bạn có định vẽ hinh ứng với mỗi giá trị của m không? Hic!! Sao nhiều hinh quá vậy? Meo, meo!!
Bạn xem đây có phải là bài toán tim giao điểm mà minh vừa học ko? Meo, minh cùng tim phương trinh hoành độ giao điểm đi! Mieo, minh ra rùi nè!!
* m? 1:
phương trình (2) có nghiệm duy nhất


nghiệm này khác 1 , vì nếu

? m-2=m-1? 0m = 1 (vô lý )
Vậy trong trường hợp này , có một giao điểm là (x;y) với :
; y =m-x

y= m-x là biểu thức thế nào nhỉ ? à, minh thay x= biểu thức mới tim được vào là ra thui!! Quá đơn giản!!!!
Ví dụ 2
a, Khảo sát hàm số : y =x3 + 3x2 - 4 (C)
b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình : x3 + 3x2 - 4 =m (*)

Giải
a, Ta có đồ thị sau (C)
b, Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m
Các bạn ơi, minh cùng vẽ hinh với Harry Poter nhé!!? Xem ai nhanh hơn nhé!
Wow!!!!Tớ vẽ xong rùi nè!! úm ba la hinh vẽ hiện ra!!!
đơn giản vậy thôi à? Minh thử vẽ hinh xem sao!!!????
Kết luận :
m> 0
m< -4
? Có 1 giao điểm ? (*) có 1 nghiệm


? Có 2 giao điểm ? (*) có 2 nghiệm

+
+
m = 0
m = - 4

+
- 4 < m < 0
? Có 3 giao điểm ? (*) có 3 nghiệm


Grừ!!! Tớ bít roài!! Từ hinh vẽ ta có kết luận bài toán
Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x) . Gọi (C) là đồ thị , viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
Trường hợp 1 : Tiếp điểm M0(x0 ; y0)? (C)
Giải :
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0 ; y0) là :
Biết :
y - y0 = f ’ (x0) (x -x0)
Trường hợp 2 :
Đi qua điểm M1(x1; y1 ) (y1?f(x1) )
Giải :

- Đường thẳng d đi qua M1(x1; y1 ) và có hệ số góc k có phương trình : y-y1 = k(x-x1) ? y= k (x-x1) + y1
- Đt d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

f(x) = k(x-x1) + y1
f ’(x) = k
+ x0 ? y0 ; f`(x0)
+ y0 ? x0 ; f`(x0) (Gpt : f(x) =y0 ? x0 .)
+ f`(x0) ? x0 ; y0 ( Gpt : f`(x) = f`(x0) ? x0 ...)
(y0= f(x0) )
áp dụng : Viết pttt của đồ thị (C) y=x3-3x+1
tại điểm uốn của (C)
Giải:
Có y`=3x2-3
y``=6x=>xu=0
=>điểm uốn U(0;1)
Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có pt:
y=y`(0)(x-0)+1
?y=-3x+1
Hic!! Tiếp tuyến tại điểm uốn là sao nhỉ? Có liên quan gi đến bài minh vừa học không?
à, vậy minh đi tim toạ độ điểm uốn thi trở thành bài toán vừa học xong!!!! Ka!Ka! Minh làm xong rùi nè!!!!
Minh vẽ hinh minh hoạ xem tiếp tuyến tại điểm uốn có hinh như thế nào nhé!!!!
áp dụng :Viết PT các đường thẳng qua điểm A( ; -1) và tiếp xúc với đồ thị (C) : y = x3-3x+1
Giải : đường thẳng d đi qua điểm A ( ; -1 ) và có hệ số góc k
có phương trinh : y = k ( x - ) - 1
đường thẳng d tiếp xúc với (C) khi hệ phương trinh sau phải có nghiệm : x3-3x+1= k ( x - ) - 1 (*)
3x2- 3 = k (**)
Thế (**) vào (*) ta được 2x3-2x2 =0
=> x=0 hoặc x=1
-Với x = 0, từ (**) -> k = 3 -> pt t2 y = 3x + 1 (d1)
-Với x = 1, từ (**) -> k = 0 -> pt t2 y = -1 (d2)
Lưu ý : A (C) hay A (C) bài toán vẫn giải như trên
Sao bài khó thế !! Hic!! Minh bạc cả đầu rùi mà vẫn chưa xong!! Chac liên quan đến bài vừa học đây! A, dạng " tiêp tuyến đI qua điểm" đây mừ!! Ke! Ke! Xong roài!!
Hinh vẽ minh hoạ
Xong roài, minh vẽ hinh thui!!! Xem nếu có hai tiếp tuyến thi hinh dáng nó như thế nào đây??
Vậy là tiếp tuyến có thể cat đồ thị hàm số nhỉ, các bạn nhớ điều này nhé!!!
Chú ý :
Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung : Cho hai hàm số y =f(x) và y =g(x) có đồ thị tương ứng là (C) và(C`)
Hai đồ thị (C) và (C`) được gọi là tiếp xúcvới nhau tại một điểm chung ,nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến, khi đó diểm chung được gọi là tiếp điểm
Như vậy ,hai đồ thị (C ) và (C`) tiếp xúcvới nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau có nghiệm :
f(x)=g(x)
f`(x) =g`(x)
Trường hợp 3 : Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k
Phương pháp
Vi hệ số góc của tiếp tuyến là k nên ta có : f`(x) = k
Giải PT : f`(x) = k ta tim được hoành độ các tiếp điểm x0 , x1..(i=1;2;..)
Với mỗi xi=>y(xi) tương ứng
Với mỗi bộ (xi;yi) ta có phương trinh tiếp tuyến tương ứng:
y=k(x-xi)+y(xi) (di)
Lưu ý: Cho hai đường thang d1 và d2 ; có hệ số góc lần lươt là k1va k2
Ta có:
d1 song song d2 ? k1=k2
d1vuông góc d2?k1.k2=-1
Ví dụ áp dụng: Viết pt các đương thang song song với đt
(d): y=9x+10 và tiếp xúc với đồ thị (C) :
y=x3-3x+1
Giải:
Dt d1 // d nên có hệ số góc k = 9 hay f`(x) = 9
mà f`(x) = 3x2 - 3
=> hoành độ các tiếp điểm của d1 và (C) là n0 của PT : 3x2 - 3 = 9
x = 2 và x=-2
Với x = -2 => y = y(-2) = -1
=> pt tiếp tuyến y = 9x + 17 (d1)
Với x = 2 => y = y(2) = 3
=> pt tiếp tuyến y = 9x - 15 (d2)
Minh ngửi thấy mùi bài này quen quen!!! A, " Bài toán tiếp tuyến với hệ số góc cho trước" đây mà, bài này cô vừa cho phương pháp. Minh giải thui.. Gâu!! Gâu!!
Ta có đồ thị
Minh vẽ hinh xem hai tiếp tuyến này có song song hay không??
Củng cố
a,Vẽ đồ thị ( C ) : y= 2x3 -9x2 +12x -4
b, Pt : 2/x/3-9x2 +12/x/ =m Có 6 nghiệm phân biệt khi
A: 4 < m < 5 y=m
B: m > 4
C: m < 5