Úng dụng Geometer's Sketchpad trong pởe point

Đỗ Quang Tâm
HÌNH HỌC 9
Hướng dẫn toán Hình học căn bản thi vào Lớp 10
Lời nói đầu.
Thực tiễn rất nhiều học sinh đã chuẩn bị bước vào Lớp 10 mà gần như hoàn toàn không biết phải sử lí như thế nào khi gặp một bài toán hình. Tôi xây dựng nên một số bài toán này với các mục đích:
Hướng dẫn HS vẽ hình.
Tìm hiểu lại một số tính chất trong Hình học.
Bước đầu làm quen với việc giải các bài toán hình học tổng hợp …
Giúp giáo viên có điều kiện áp dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad trong việc soạn giáo án điện tử ( Xin cám ơn thầy Nguyễn Quang Tuynh)
(bài giảng sử dụng chương trình Geometer’s Sketchpad)
Bài 1. Cho tam giác ABC có ĐB = 30o ; ĐC = 15o nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB; OC.
Tính ĐPON.
Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
NĂM BÀI TOÁN HÌNH HỌC CƠ SỞ
Bài 1. Cho tam giác ABC có ĐB = 30o ; ĐC = 15o nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB; OC.
Tính ĐPON.
Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
Bài 1. Cho tam giác ABC có ĐB = 30o ; ĐC = 15o nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB; OC.
Tính ĐPON.
Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
Bài 1. Cho tam giác ABC có ĐB = 30o ; ĐC = 15o nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB; OC.
Tính ĐPON.
Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
1
2

/
a. ĐPON = ?
a. ĐPON = ?
Ta có: ĐB = 30o
sđ
ĐC = 15o
sđ
Mà N là trung điểm của AC, nên:
ĐNOA = ½ sđ
Tương tự: ĐPOA = ½ sđ
ĐPON = ĐNOA + ĐPOA = 45o
= 30o
= 15o
b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
Ta có: IM là đg trung bình của DOCB, nên
IM // OB (1)
b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
Mặt khác DACO đều vì:
OA = OC = R
ĐAOC = 60o
IA vừa là trung tuyến, vừa là đường cao . . ., nên:
IA ^ OC
Mà ĐBOC = 90o
OB ^ OC
IA // OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra I, M, A thẳng hàng.
c. Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có ĐACB = 45o Đường tròn tâm I, đường kính AB cắt cạnh AC và BC tại M và N
Chứng minh MN ^ OC.
Chứng minh
Cho A và B cố định ĐACB = 45o không đổi và C di động trên cung lớn AB. Tìm quỹ tích trung điểm P của IC.
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có ĐACB = 45o Đường tròn tâm I, đường kính AB cắt cạnh AC và BC tại M và N
Chứng minh MN ^ OC.
Chứng minh
Cho A và B cố định ĐACB = 45o không đổi và C di động trên cung lớn AB. Tìm quỹ tích trung điểm P của IC.
a. Chứng minh MN ^ OC.
x
1
)
(
)
Ta có: ĐMNC = ĐMAB
(cùng bù ĐMNB)
ĐNCx = ĐMAB
(cùng chắn cung BC)
ĐMNC = ĐNCx
MN // Cx
Mặt khác: OC ^ Cx (gt)
OC ^ MN
Kẻ tt Cx của (O).
b. Chứng minh
x
1
)
(
)
Ta có:
DCMN ~ DCBA (g.g)
Vì ĐC (chung)
ĐMNC = ĐMAB (cmt)
ĐAMB = ĐBMC = 90o
(góc nt chắn ½ đg tròn)
DCMB vuông cân tại M
c. Tìm quỹ tích trung điểm P của IC.
P
F
E
Bài 3. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AE của (O1) tiếp xúc với (O2) .Vẽ dây AF của (O2) tiếp xúc với (O1) tại A.
Chứng minh
Gọi C là điểm đối xứng của A qua B. có nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC.
Chứng minh AECF nội tiếp.
Bài 3. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AE của (O1) tiếp xúc với (O2) .Vẽ dây AF của (O2) tiếp xúc với (O1) tại A.
Chứng minh
Gọi C là điểm đối xứng của A qua B. có nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC.
Chứng minh AECF nội tiếp.
a. Chứng minh
a. Chứng minh
)
)
(
(
a. Chứng minh
)
)
(
(
DABE ~ DFBA (g.g)
Vì ĐAEB = ĐFAB
[cùng chắn cung AB của (O1)]
ĐEAB = ĐAFB
[cùng chắn cung AB của (O2)]
b. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B. có nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC.
b. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B. có nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC.
Từ cm a) ta có:
Thay AB bằng BC
Mặt khác: ĐABE = ĐABF (cmt)
ĐCBE = ĐCBF
DEBC ~ DCBF (c.g.c)
c. Chứng minh AEFC nội tiếp.
)
)
)
)
c. Chứng minh AECF nội tiếp.
)
)
)
)
Ta có: ĐCAF = ĐAEB
(cm a)
ĐFCB = ĐCEB
(cm b)
ĐFAE + ĐFCE
= ĐACE + ĐCEA + ĐEAC
= 180o
Vậy AECF nội tiếp.
Bài 4. Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d cắt (O) tại A và B. Từ điểm M trên d và ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến MN và MP (N và P là hai tiếp điểm)
Chứng minh ĐNMO = ĐNPO.
Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M lưu động trên d.
Xác định vị trí của M trên d sao cho MNOP là hình vuông.
Bài 4. Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d cắt (O) tại A và B. Từ điểm M trên d và ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến MN và MP (N và P là hai tiếp điểm)
Chứng minh ĐNMO = ĐNPO.
Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M lưu động trên d.
Xác định vị trí của M trên d sao cho MNOP là hình vuông.
a. Chứng minh ĐNMO = ĐNPO.
a. Chứng minh ĐNMO = ĐNPO.
a. Chứng minh ĐNMO = ĐNPO.
Theo t/c của tt, ta có:
ĐMNO = 90o
ĐMPO = 90o
ĐMNO + ĐMPO = 180o
Vậy tứ giác MNOP nội tiếp, nên:
ĐNMO = ĐNPO
(hai góc nt cùng chắn cung NO)
b. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M lưu động trên d.
I
b. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M lưu động trên d.
I
Ta có M;N;O;P nội tiếp đường tròn đường kính MO (cmt)
gọi I là trung điểm của AB, ta lại có:
ĐMPO = 90o (cmt)
ĐMIO = 90o (t/c đg kính và dây cung)
Vậy M;N;O;P nội tiếp đường tròn đường kính MO, hay I, O cố định thuộc đg tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
c. Xác định vị trí của M trên d sao cho MNOP là hình vuông.
I
?
?
?
?
c. Xác định vị trí của M trên d sao cho MNOP là hình vuông.
I
Để MNOP là hình vuông, thì:
MN = NO = OP = PM = R
DMPO vuông cân, suy ra
Vậy M là giao điểm của d với
Bài 5. Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là một điểm trên đoạn thẳng AB. Nối C với một điểm M bất kì trên nửa đường tròn. Đường thẳng vuông góc tại M với CM cắt các tiếp tuyến tại A và B ở E và F
Chứng minh ACME và BCMF là các tứ giác nội tiếp.
Chứng minh ĐECF = 1v
Tìm quỹ tích trung điểm N của EF khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB với C cố định.
Bài 5. Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là một điểm trên đoạn thẳng AB. Nối C với một điểm M bất kì trên nửa đường tròn. Đường thẳng vuông góc tại M với CM cắt các tiếp tuyến tại A và B ở F và F
Chứng minh ACME và BCMF là các tứ giác nội tiếp.
Chứng minh ĐECF = 1v
Tìm quỹ tích trung điểm trung điểm N của EF khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB với C cố định.
C
M
Bài 5. Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là một điểm trên đoạn thẳng AB. Nối C với một điểm M bất kì trên nửa đường tròn. Đường thẳng vuông góc tại M với CM cắt các tiếp tuyến tại A và B ở F và F
Chứng minh ACME và BCMF là các tứ giác nội tiếp.
Chứng minh ĐECF = 1v
Tìm quỹ tích trung điểm trung điểm N của EF khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB với C cố định.
a. Chứng minh ACME và BCMF là các tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh ĐECF = 1v
1
1
1
2
2
N
1
2
3
b. Chứng minh ĐECF = 1v
1
1
1
2
2
Trong DECF có:
ĐECF = 180o – (ĐFEC + ĐEFC) (1)
AEMC nội tiếp, nên
ĐMEC = ĐMAC
(hai góc nt cùng chắn cung MC)
ĐMAC = ĐMBF
(cùng chắn cung MB)
ĐFEC = ĐMBF (2)
BCMF nội tiếp, nên
ĐMFC = ĐMBC (3)
(hai góc nt cùng chắn cung MC)
Mà ĐMBF + ĐMBC = 1v (4)
Từ (1),(2),(3),(4) suy ra ĐECF = 1v.
1
2
3
c. Tìm quỹ tích trung điểm trung điểm N của EF khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB với C cố định.
1
1
1
2
2
N
c. Tìm quỹ tích trung điểm trung điểm N của EF khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB với C cố định.
N
Khi M di động, ta luôn có:
AB ^ AE
AB ^ BF
AE // BF
Hay AEFB là h/thang.
Ta lại có: NE = NF (gt)
OA = OB = R, nên ON là đg trung bình của hình thang. Hay tập hợp N là đg trung trực của đoạn thẳng AB.