Ứng dụng của đa thức đối xứng

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG
Ths. Cao Ngọc Châu
Phòng GD&ĐT Can Lộc, Hà Tĩnh
Trong chương trình toán ở THCS khái niệm đa thức đã được trình bày. Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toán. Trong bài này tôi xin giới thiệu một số ứng dụng của đa thức đối xứng vào việc giải quyết một số bài toán đại số sơ cấp một cách đơn giản.
I/ Cơ sở lý thuyết
1/ Định nghĩa: Một đa thức 3 ẩn x,y,z được gọi là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi giá trị khi ta thay thế một cách tuỳ ý các ẩn x,y,z cho nhau.
Ví dụ 1: a, Các đa thức sau là đa thức đối xứng
x+y, x.y, x2y+xy2, x2+y2, x5+y5, x2+y2+z2, x3+y3+z3-3xyz,...
b, Các đa thức sau không phải là đa thức đối xứng:
x-y, x2-y2,x3-3y2+2xy,...
2/ Đa thức đối xứng cơ bản
a, Với đa thức hai ẩn có hai đa thức đối xứng cơ bản:


b, Với đa thức ba ẩn có ba đa thức đối xứng cơ bản


3/ Biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng cơ bản.
a, Đối với đa thức hai ẩn việc biễu diễn tương đối đơn giản,
Ví dụ 2: x2y + xy2=xy(x+y)=
, x2+y2=(x+y)2-2xy =
,
x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y) =
,....
b, Đối với đa thức ba ẩn việc biểu diễn phức tạp hơn, nhưng ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định.
+, Đa thức 3 ẩn viết dưới dạng đầy đủ

, trong đó hạng tử

có bộ số mũ là
với

Ví dụ3:

+, Phương pháp biểu diễn:
Chọn hạng tử cao nhất giả sử là
có bộ số mũ là
.
Viết tất cả các bộ số mũ
thoã mãn
và



Giả sử
có dạng



Cho x,y,z tuỳ ý ta tìm được

Ví dụ 4: Biểu diễn đa thức sau:
qua các đa thức đối xứng cơ bản.
Hạng tử cao nhất là
có bộ số mũ (3,0,0).
Viết tất cả các bộ số mũ: (3,0,0),(2,1,0),(1,1,1)
Giả sử có:

.
Cho x=1, y=-2, z=1 ta được
.
Cho x=1, y=1, z=0 ta được

Cho x=1, y=1, z=1 ta được:

Từ đó suy ra:

Vậy


II/ Một số ứng dụng
1. Chứng minh các hằng đẳng thức
Ví dụ 5: Cho

Chứng minh rằng:

Giải: Ta có



Mặt khác





Vậy:
hay
Đpcm
2. Chứng minh các bất đẳng thức
Từ bất đẳng thức

Từ BĐT trên ta vận dụng chứng minh các BĐT khác.
Ví dụ 6: Chứng minh các BĐT
a, (
với

b,
với

Giải:


a, Từ
hay

đặt

ta được
.
b, Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
. Do
dương nên
. Từ các BĐT
và
ta có

Suy ra

3.Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức
thành nhân tử
Giải: Ta có:









4. Giải phương trình và hệ phương trình
Ví dụ 8: Giải phương trình


Giải: Đặt
Ta có:

Khi đó ta có hệ:


Từ đó suy ra:
hoặc
. Vì
không xảy ra, nên

Vậy:
ta có
hoặc

Nếu:
thì phương trình có nghiệm

Nếu:
thì phương trình có nghiệm

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình

Giải hệ:
Giải:
Ta đặt t1= x + y và t2= x . y ta có hệ :
thế t1 = 3 ta có :



do đó x; y là các nghiệm của pt:
hoặc