Tứ giác nội tiếp

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1 Cho ∆ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. Hãy tìm và chứng minh các tứ giác nội tiếp có trong hình.

2 Cho ∆ABC có ba đường cao AH, GI, CK cắt nhau tại O.
a. Chứng minh : Tứ giác AIOK và tứ giác AIHB nội tiếp.
b. Chứng minh : BI là phân giác của
.
c. Chứng minh : O là tâm đường tròn nội tiếp trong ∆KIH.
d. Chứng minh : A, B, C là tâm đường tròn bàng tiếp ∆KIH.

3 Cho ∆ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a. Chứng minh : Tứ giác BCEF nội tiếp.
b. Chứng minh : ∆AEF đồng dạng ∆ABC.

4 Cho ∆MNP có ba đường cao MM’, NN’, PP’.
a. Chứng minh : Tứ giác MPM’P’ và tứ giác MNM’N’ nội tiếp.
b. Chứng minh : ∆M’NP’ đồng dạng ∆M’N’P.

5 Cho ∆ABC có đường cao AH và BI.
a. Chứng minh :
.
b. Chứng minh : AB.IC = BC.IH.

6 Cho
. Trên Ox lấy OA = 6cm, OB = 10cm. Trên Oy lấy OD = 4cm, OC = 15cm. Chứng minh:
∆OAD đồng dạng ∆OBC.
b. Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn.

7 Cho ∆OPQ có đường cao PI và QK. Chứng minh :
.



8 Cho ∆ABC. Lấy điểm D
và E
AC sao cho
. Chứng minh: Tứ giác BDEC nội tiếp trong đường tròn.

9 Cho ∆
nội tiếp trong đường tròn (O). Từ M
cung nhỏ
, kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB, BC,CA ở H, I, K. Chứng minh :
a. Các tứ giác BHMI, MIKC nội tiếp được trong đường tròn.
b.
.
c.
.
d. Ba điểm H, I, K thẳng hàng.

10 Cho ∆
nội tiếp trong đường tròn (O). Từ M
cung nhỏ
, kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB, BC,CA ở H, I, K. Chứng minh :
a. Các tứ giác BHMI, MIKC nội tiếp được trong đường tròn.
b. Ba điểm H, I, K thẳng hàng.

11 Từ điểm A ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC. Lấy M trên dây BC, kẻ đường thẳng vuông góc với OM ở M, đường thẳng này cắt AB tại K và đường thẳng AC ở L.
a. Chứng minh : Tứ giác OMKB và OMCL nội tiếp.
b. Chứng minh :
.
c. Chứng minh : MK = ML.

12 Từ điểm A ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC. Lấy M thuộc dây BC, kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại M, đường thẳng này cắt đường thẳng AB ở K và đường thẳng AC ở L. Chứng minh : MK = ML.

13 Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy điểm M trên cung AB, kẻ MH
AB ở H. Từ điểm C bất kỳ trên cung nhỏ MB vẽ tiếp tuyến xCy cắt đường thẳng MH ở O. AC cắt MH ở D và MH cắt BC ở E.


Chứng minh : Các điểm B, C, D, H thuộc một đường tròn và A, H, C, E nằm trên một đường tròn.
Chứng minh : Các ∆ODC, ∆OEC cân.
Chứng minh : O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆DCE.

14 Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy điểm M trên cung AB, kẻ MH
AB ở H. Từ điểm C bất kỳ trên cung nhỏ MB vẽ tiếp tuyến xCy cắt đường thẳng MH ở O. AC cắt MH ở D và MH cắt BC ở E.
Chứng minh : Các điểm B, C, D, H thuộc một đường tròn và A, H, C, E nằm trên một đường tròn.
Chứng minh : O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆DCE.

15 Cho ∆ABC nhọn có hai phân giác trong đỉnh B và C cắt nhau ở E, hai phân giác ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở F. Đặt số đo
.
Chứng minh : Tứ giác BECF nội tiếp.
Chứng minh :
và tính
theo
.
Gọi I là trung điểm của EF.Chứng minh
.
Chứng minh : Tứ giác ABCI nội tiếp.
Lấy M
BC sao cho
. Chứng minh ∆ABI đồng dạng ∆CMI.
Chứng minh : ∆BMI đồng dạng ∆ACI.
Chứng minh :
.

16 Cho ∆ABC nhọn có hai phân giác trong đỉnh B và C cắt nhau ở E, hai phân giác ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở F. Đặt số đo
.
Tính số đo
theo
.
b. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh tứ giác ABCI nội tiếp.
Lấy M
BC sao cho
. Chứng minh
.




17 Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AD và cắt cung
của đường tròn ( D; DA ). Lấy điểm P bất kỳ trên cung
, PD cắt
ở K. Kẻ PH
AB ở H. PA cắt
tại I.
a. Chứng minh : DI là phân giác của
.
b. Chứng minh : Tứ giác AHPK nội tiếp.
c. Chứng minh : PH = PK.

18 Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AD và cắt cung
của đường tròn ( D; DA ). Lấy điểm P bất kỳ trên cung
, PD cắt
ở K. Kẻ PH
AB ở H. Chứng minh : PH = PK.

19 Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ
. Kẻ MH
AC ở H, MK
BC ở K và MI
AB ở I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, HK.
Chứng minh
.
Chứng minh : Các tứ giác AHMI, HMCK nội tiếp.
Chứng minh : Ba điểm I, H, K thẳng hàng.
Chứng minh : MB là phân giác của
.
Chứng minh : Tứ giác BIMK nội tiếp.
Chứng minh : ∆ABM đồng dạng ∆HKM và ∆BEM đồng dạng ∆KFM.
Chứng minh : Tứ giác IEFM nội tiếp và suy ra


20 Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ
. Kẻ MH
AC ở H, MK
BC ở K và MI
AB ở I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, HK.
a. Chứng minh : Ba điểm I, H, K thẳng hàng.
b. Chứng minh : ∆ ABM đồng dạng ∆HKM và ∆BEM đồng dạng ∆KFM.
c. Chứng minh :
.


21 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Lấy điểm D bất kỳ trên cung nhỏ
. Trên BC lấy điểm N sao cho
.
a. Chứng minh : ∆ABD đồng dạng ∆CND và ∆ACD đồng dạng ∆BND.
b. Kẻ DH
BC ở H, DI
AB ở I và DK
AC ở K. Chứng minh:
và
.
c. Chứng minh :
.

22 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Lấy điểm D bất kỳ trên cung nhỏ
. Trên BC lấy điểm N sao cho
.
a. Chứng minh : ∆ABD đồng dạng ∆CND và ∆ACD đồng dạng ∆BND.
b. Kẻ DH
BC ở H, DI
AB ở I và DK
AC ở K. Chứng minh:
.

23 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O). Gọi M, N, P là điểm chính giữa các cung nhỏ
. BP cắt AN ở I, MN cắt AB ở E, AN cắt BC ở D.
a. Chứng minh :
và ∆BNI cân.
Chứng minh :MN là phân giác của
và BP là phân giác của
.
Chứng minh :
.
Chứng minh : ∆BEI cân.
Chứng minh : EI // BC.

và
.



24 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O). Gọi M, N, P là điểm chính giữa các cung nhỏ
. BP cắt AN ở I, MN cắt AB ở E, AN cắt BC ở D.
a. Chứng minh : ∆BNI cân.
b. Chứng minh :
.
Chứng minh : EI // BC.
Chứng minh :
.

25 Cho B, C nằm trên tiếp tuyến xAy của (O) (A
(O)) và A
BC. Kẻ hai tiếp tuyến BD, CE. Chứng minh
.

26 Cho B, C nằm trên tiếp tuyến xAy của (O) (A
(O)) và A
BC. Kẻ hai tiếp tuyến BD, CE. Chứng minh
.

27 Cho ∆ABC cân ở A. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC ở B và C. Từ M trên cung nhỏ
kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB.
Chứng minh : Các tứ giác MDBF, MDCE nội tiếp.
Chứng minh : ∆FBM đồng dạng ∆DCM và ∆DBM đồng dạng ∆ECM.
Chứng minh :
.

28 Cho điểm A ngoài (O; R). Vẽ hai cát tuyến AMN và APQ (MN > PQ) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OA. Hai dây AD, AF của đường tròn (O; OA) tiếp xúc với đường tròn (O; R) lần lượt ở B và C. Hai cát tuyến AMN và APQ cắt đường tròn (O; OA) ở E và H (E, H
A).
Chứng minh : B là trung điểm của AD và C là trung điểm của AF.
Chứng minh :
rồi suy ra AD = AF.
So sánh AE và AH rồi chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.


So sánh
và


29 Cho điểm A ngoài (O; R). Vẽ hai cát tuyến AMN và APQ (MN > PQ) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OA. Hai dây AD, AF của đường tròn (O; OA) tiếp xúc với đường tròn (O; R) lần lượt ở B và C. Hai cát tuyến AMN và APQ cắt đường tròn (O; OA) ở E và H (E, H
A).
a. Chứng minh : AD = AF và so sánh AE và AH.
b. Chứng minh : Tứ giác ABOC nội tiếp.
c. So sánh
và
.

30 ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Điểm M di động trên BC. Vẽ đường tròn tâm ( I ) qua M và tiếp xúc với AB ở B. Vẽ đường tròn tâm ( J ) qua M và tiếp xúc với AC ở C. Đường tròn ( I ) cắt ( J ) ở điểm thứ hai là N (N
M).
a. Chứng minh : N((O).
b. Đường thẳng MN cắt (O) ở K (K
N). Chứng minh :
.
c. Chứng minh : AK // BC.
d. Chứng minh : Điểm K cố định khi M di động trên đoạn BC.

31 ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm M di động trên cạnh BC. Vẽ đường tròn tâm I qua M và tiếp xúc với AB ở B. Vẽ đường tròn tâm J qua M và tiếp xúc với AC ở C. Hai đường tròn (I) và (J) cắt nhau ở điểm thứ hai là N khác M.
Chứng minh điểm N ((O)
Đường thẳng MN cắt (O) ở K (K khác N). Chứng minh điểm K cố định khi M di động trên cạnh BC.

32 Trên hai cạnh Ox và Oy của
. Lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Tia Az quay quanh A và cắt OB tại M. Kẻ BH
Az ở H và cắt đường thẳng AO ở I.
Có nhận xét gì về tứ giác OMHI và so sánh OM với OI.


Kẻ OK
BI ở K. Chứng minh HO là phân giác của
và OK = KH.
Chứng minh : K luôn di động trên một đường cố định.

33 Trên hai cạnh Ox và Oy của
. Lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Tia Az quay quanh A và cắt OB tại M. Kẻ BH
Az ở H và cắt đường thẳng AO ở I.
a. Có nhận xét gì về tứ giác OMHI và so sánh OM với OI.
b. Kẻ OK
BI ở K. Chứng minh : OK = KH và K luôn di động trên một đường cố định khi Az quay quanh A sao cho M(OB.

34 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ dây DD’ // BC (D’, B thuộc về hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC).AD’ cắt BC ở E.
a. Chứng minh :∆ABD đồng dạng ∆AEC và ∆ABE đồng dạng ∆ADC.
b. AC cắt DD’ ở F. Chứng minh :
.
c. Chứng minh :∆AFD đồng dạng ∆AD’B và ∆ACE đồng dạng ∆BD’E.
d. So sánh EC.EB với ED’.EA.

35 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ dây DD’ // BC (D’, B thuộc về hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC).AD’ cắt BC ở E.
a. Chứng minh :∆ABD đồng dạng ∆AEC và ∆ABE đồng dạng ∆ADC.
b. AC cắt DD’ ở E. Chứng minh :∆AFD đồng dạng ∆AD’B .
c. So sánh EC.EB với ED’.EA.

36 Cho đường tròn (O) và dây AB. Lấy điểm M trên tia đối của tia BA, kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với (O) (C

lớn). Phân giác của
cắt AB ở E, CE cắt
nhỏ tại F.

Chứng minh :
.
Chứng minh : MC = ME.
Chứng minh : ∆ADM đồng dạng ∆DBM và ∆CAM đồng dạng ∆BCM rồi suy ra
.
Chứng minh : DE là tia phân giác của
.
Gọi I là trung điểm của dây AB. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆MCD qua hai điểm cố định.
Chứng minh : MI là tia phân giác của
.
Xác định vị trí của điểm M trên AB để ∆MCD đều.

37 Cho đường tròn (O) và dây AB. Lấy điểm M trên tia đối của tia BA, kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với (O) (C

lớn). Phân giác của
cắt AB ở E.
a. Chứng minh : MC = ME.
b. Chứng minh : DE là tia phân giác của
.
c. Gọi I là trung điểm của dây AB. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆MCD qua hai điểm cố định.
d. Chứng minh : MI là tia phân giác của
.
e. Xác định vị trí của điểm M trên AB để ∆MCD đều.

38 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). có H là trực tâm. Kẻ đường kính AD cùa (O) và gọi M là trung điểm của BC.
a. ∆ABD và ∆ACD là tam giác gì? Tại sao?
b. Chứ