Truong so phuc

Xây dựng trường số phức C
Xét R2 = { (a,b) | a, b ? R} với 2 phép toán + và x được định nghĩa như sau:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
(a,b) (c,d) = (ac-bd, ad +bc)
Chứng minh (R2 , +, .)-Trường.
(R2 , +) - Nhóm Aben.
(R2 {(0,0)} , .) - Nhóm nhân giao hoán có đơn vị.
Phép nhân phân phối với phép cộng:
(R2 , +) - Nhóm Aben.

Thật vậy: ? (a,b) ; (c,d) ; (e,f) ? R2 ta có:
(a,b) + ((c,d)+(e,f)) = (a+c)+(c+e, d+f)
= (a+(c+e), b+(d+f))= ((a+c)+e, (b+d)+f)
=((a, b)+(c, d)) +(e+f)
(a,b) + (c,d) =(a+c, b+d)=(c+a, d+b)= (c, d) + (a, b)
(0, 0) ? R2 ta có (0, 0) + (a, b) = (0+a, 0+b)= (a, b)
=> (0, 0) phần tử trung lập.
Với mỗi (a, b) ? R2 ta có (-a, -b) ? R2
(a, b) +(-a, - b) = (a - a, b - b) = (0, 0)
=> (-a, -b) phần tử đối của (a, b).

(R2 {(0,0)} , .) - Nhóm nhân có đơn vị.
Thật vậy: ? (a,b) ; (c,d) ; (e,f) ? R2 ta có:
(a,b) ((c,d) (e,f)) = (a+b)(ce - df, cf + de)
= (a(ce - df) - b(cf + de), a(cf + de) + b(ce - df))
= (ace - adf - bcf + bde, acf + ade + bce - bdf)
= ((ac - bd)e -(ad + bc)f, (ac - bd)f + (ad + bc)e)
= (ac - bd, ad + bc) (e, f) = ((a, b) (c, d)) (e, f).
(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
= (ca - db, da + cb) = (c, d)(a, b).

Phần tử đơn vị và phần tử đối
(1, 0) ? R2 ta có (1, 0) (a, b) = (1a - 0 b, 1b + 0 a)= (a, b)
=> (1, 0) phần tử đơn vị.
Với mỗi (a, b) ? R2 , (a, b) # (0, 0) ta có (a`, b`) ? R2 và (a, b) (a`, b`) = (aa`-bb`, ab` + a`b) = (1, 0)
�=>� aa` - bb` =1 (1) và ab` + a`b =0 (2)
a # 0 từ (2) => b` = - a`b/b thay vào (1)
ta được a` = a/(a2+b2) và b` = -b/ (a2+b2)
=> (a/(a2+b2), -b/(a2+b2) là phần tử đối của (a, b).

Phép nhân phân phối với phép cộng
(a,b) ((c,d) + (e,f)) = (a,b) ((c + e), (d + f))
= (a(c+e)-b(d+f), a(d+f)+b(c+e)
=(ac+ae-bd-bf, ad+af +bc+be)
= (ac -bd +ae -bf), ad+be+ af +bc)
=(ac -bd, ad +bc) + (ae-bf, af+be)
=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)
(R2 , +, .) là 1 trường
� Ta thấy: (a,b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1)
ký hiệu (a, 0) = a ; (b, 0)=b ; (0,1)=i
=>(a,b) = a + bi và ta có
(a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c) + (b+d)i
(0,1)(0,1) =(0-1, 0-0) = (-1,0) =i2
(a,b)(c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd) + (ad+bc)i
Ta ký hiệu trường R2 = C và gọi trường số phức.

C trường số phức

� z = a + bi ? C là 1số phức ; a phần thực, b phần ảo của số phức.
Một số phức phần thực bằng 0, phần ảo # 0 gọi là số phức thuần ảo.
Cộng 2 số phức: cộng phần thức với nhau và cộng phần ảo với nhau.
Nhân 2 số phức ta nhân bình thường và thay i2 = -1.
2 số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thức bằng nhau và phần ảo bằng nhau.
Với ?a ? R => a = a + 0i ? C => R ? C Trường số thực là trường con của trường số phức.
Trong C phương trình x2 + 1 = 0 có 2 nghiệm +i và - i ;
C = R2 trường số phức lấp đầy mặt phẳng.
Biểu diễn hình học của số phức
Trong mp lấy hệ toạ độ Đề các xOy, mỗi véc tơ cho ta một cặp (a,b) gọi là toạ độ của
Gọi E ={ } ta có song ánh






Biểu diễn hình học của số phức
.



VËy tæng, hiÖu 2 vÐc t¬ z, w lµ tæng, hiÖu 2 sè phøc
Mô-đun và acgumen của số phức
Cho số phức z=a+bi, trên mp trong hệ trục toạ độ Đề các, z xác định bởi độ dài r và góc ? giữa véc tơ z và chiều dương trục hoành.

.
Ta có dạng biểu diễn lượng giác của số phức
r > 0 gọi là mô-đun
kí hiệu |z|=r
Góc ? sai khác 2k? gọi là acgumen của số phức
kí hiệu ? = argz

Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1, -1, i, -i, 1+i, 1-i
1 = 1 + 0i = 1(cos0 +i sin0)
-1 = -1 + 0i = 1(cos + isin )
i = 0 + 1i = 1(cos /2 +isin /2)
- i = 0 - 1i = 1(cos 3/2 +isin 3/2)



Tích 2 số phức dạng lượng giác
� Cho 2 số phức viết dạng lượng giác:


Nhân 2 số phức, ta nhân các mô đun của chúng với nhau, và cộng các acgumen của chúng với nhau.
Tích 2 số phức dạng lượng giác
�
Vài tính chất của mô đun
�
Cho số phức z = a + bi ; |z| gọi là độ dài véc tơ hay mô đun véc tơ z
Một số tính chất của mô đun (tương tự t/c số thực)
Số phức liên hợp
�
Một số tính chất :
Nâng luỹ thừa số phức
� Dạng véc tơ
� Dạng lượng giác
Chú ý
Ví dụ
Ví dụ
Công thức Moa-vrơ
� Ta có
Ví dụ 1
� Từ đó ta có thể tính được sin, cos các góc bội
Ví dụ 2
Khai phương số phức
Ta có:
Ví dụ 1
Ví dụ 2
Nhận xét
� Công thức nghiệm của pt bậc 2:
� Phương trình vô nghiệm khi :
�Trong C phương trình bậc 2 trên luôn có nghiệm là :
Khai căn bậc n
�Tìm căn bậc n của số phức z = r(cos?+isin?) ? 0.
tức là tìm số phức
Khai căn bậc n
Khai căn bậc n
Khai căn bậc n
Khai căn bậc n
Các căn bậc n của đơn vị
�Một số căn đơn vị
Bài tập
1.�đọc phần căn đơn vị
2. Làm bài tập trang 85