Trao đổi với thầy Đinh Văn Hưng về bài hình hay SMO 2017

/



Đề : Cho tam giác ABC cân tại A, D thuộc BC, E thuộc AD sao cho góc BAC bằng góc BED bằng 2 lần góc DEC. CMR: BD=2CD (SMO 2017)

Lấy F trên tia đối của tia DE sao cho BE=EF. Đặt BAC=BED=2DEC=2α;
ABC=ACB=EBF=EFB=β.
Vì tam giác ABC cân nên α+β=90 độ.
Tam giác AEB đồng dạng với tam giác CFB (c.g.c)
=>BFC=BEA
Có: BEC+EBF+BFC+ECF=360
( (BED+BFC)+(DEC+EBF)+ECF=360
((BED+BEA)+ (α+β)+ECF=360
( ECF=90
Suy ra: cos(ECF)=cos(α)= EC/EF=EC/BE


Ta có:

𝐵𝐷
𝐶𝐷
𝑆
𝐵𝐸𝐷
𝑆
𝐷𝐸𝐶
1
2.𝐵𝐸.𝐸𝐷
sin
2α
1
2.𝐸𝐷.𝐸𝐶.sin⁡(α
𝐵𝐸
𝐸𝐶
2
cos
𝑎
sin
α
sin
𝛼
𝐵𝐸
𝐶𝐸
cos
α.2=2