Trao đổi với thầy Đinh Văn Hưng về bài hình

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn(O) gọi H , K ,I, Q lần lượt là trực tâm của tam giác ABC, BCD, CDA,DAB. Chứng minh tứ giác HKIQ nội tiếp


1. Ta sử dụng tính chất sau:
Trong tam giác ABC, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O,  M là trung điểm cạnh BC thì AH = 2 OM


2) Áp dụng t/c trên :  - ΔABC, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. HB = 2 .d(O, AC) ΔDAC, trực tâm I, tâm đường tròn ngoại tiếp O. ID = 2 d(O, AC) ⇒HB=ID và HD // ID (do cùng ⊥AC). ⇒HBDI là h b hành. - ΔABD, trực tâmQ, tâm đường tròn ngoại tiếp O. AQ=2×d(O,BD),  ΔBCD, trực tâm K, tâm đường tròn ngoại tiếp O. KC=2×d(O,AC) ⇒AQ=KC và  AQ//KC (do ⊥BD). ⇒AQKC là h b hành.  ΔABD, trực tâm Q, tâm đường tròn ngoại tiếp O. BQ=2×d(O,AD) ΔACD, trực tâm I, tâm đường tròn ngoại tiếp O. suy ra CI=2×d(O,AD) ⇒BQ=CI và  BQ//CI (do cùng  ⊥BD). 3) Ta cmr ΔHBQ=ΔDIC,  ΔAQB=ΔKCI - Xét ΔHBQ và ΔDIC :  + HB=DI + ​HBQDIC ( 2 góc tương ứng tạo bởi các cặp cạnh song song : HB//DI,BQ//CI) + BQ=IC nên  ΔHBQ=ΔDIC (cgc)  - Tương tự ΔAQB=ΔKCI (cgc)  4) Để cmr tứ giác HQIK nội tiếp, ta cmr  2 góc cùng chắn cùng QI bằng nhau :  QHIQKI - QHIQHBBHI + ΔHBQ=ΔDIC⇒​QHBIDC(2 góc màu blue) + HBDI là hb hành ⇒​BHIBDI(2 góc màu nâu) ⇒​QHIQHBBHIIDCBDIBDC -QKIQKCCKI + ΔAQB=ΔKCI⇒​CKIBAQ(2 góc màu xám) + AQKC là hb hành ⇒​QKCQAC(2 góc màu hồng) ⇒​QKIQKCCKIQACBAQBAC - Mà tứ giác ABCD nội tiếp nên BDCBAC (góc n /tiếp cùng chắn cung BC)  ⇒​QHIQKItứ giác HQIKHQIK nội tiếp.