Trao đổi cùng bạn Nguyễn Kim Hùng.

Trao đổi cùng bạn Nguyễn Kim Hùng
Bài 2: Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên, biết f(2017), f(2018) là các số lẻ. CM: đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.
Bài 2:
Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là a
Ta có: f(x)=(x-a)Q(x)=> Q(x)
Do đó:
f(2017)=(2017-a)Q(2017)=> Q(2017)lẻ vì f(2017) lẻ
f(2018)=(2018-a)Q(2018)=> Q(2018)lẻ vì f(2018) lẻ
=> f(2017)+f(2018)=2017.Q(2017)+2018.Q(2018)-a(f(2017)+f(2018))
Vì f(2017) lẻ,f(2018) lẻ nên 2017.Q(2017)+2018.Q(2018)-a(f(2017)+f(2018)) và f(2017)+f(2018) chẵn(điều này vô lí) suy ra đpcm
(Có vài chổ tôi điều chỉnh lại bạn xem.)
CM: đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.
Giả
, có
là các số nguyên
Giả sử phương trình có nghiệm nguyên x=k
Suy ra





Có f(2018)là số lẻ. Suy ra
là số lẻ.
Có
. Suy ra k là ước của
,
là số lẻ. Suy ra k là số lẻ.
Có k là nghiệm của f(x). Nên

Có
là số lẻ, Có
là số chẵn. Suy ra
là số chẵn (vô lý)
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.