Toanhay123

II - LỚP 10 THPT CHUYÊN

ĐỀ SỐ 1
Câu 1:
a) Đặt
(1), suy ra

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 – 4t – 5 = 0
.
Lần lượt thay các giá trị của t vào (1) thì phương trình đã cho có 4 nghiệm:
x1 = 1; x2 = - 2;

b) Đk: x ≥ - 2 (1)
Đặt
(2)
Ta có: a2 – b2 = 3;

Thay vào phương trình đã cho ta được:
(a – b)(1 + ab) = a2 – b2
(a – b)(1 – a)(1 – b) = 0


nên

Đối chiếu với (1) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 1.
Câu 2:
a) Đặt
, khi đó do abc = 1 nên xyz = 1 (1).
Từ đề bài suy ra

x + y + z = yz + xz + xy (2).
Từ (1) và (2) suy ra: xyz + (x + y + z) – (xy + yz + zx) – 1 = 0

(x – 1)(y – 1)(z – 1) = 0.
Vậy tồn tại x =1 chẳng hạn, suy ra a = b3, đpcm.
b) Đặt

x = a + b; a3 + b3 = 2; ab =
.
Ta có: x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Suy ra: x3 = 2 – x
x3 + x – 2 = 0


x = 1. Vì x2 + x + 2 =
. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Câu 3: Áp dụng các BĐT:

; a + b + c

(được suy ra từ bất đẳng thức Bunhiacôpski)
Ta có:


Lại có: A =

+




(do x + y + z
3). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Vậy maxA =

Câu 4:
a) Ta có:
(tính chất tiếp tuyến) (1)
AB = AC
= R = OB = OC (2).
Từ (1) và (2) suy ra ABOC là hình vuông.
b) Theo bài ra ta có: AD + DE + AE = 2R (3).
Suy ra: DE = BD + CE (4).
Vẽ OM ( DE (M
DE) (5)
Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = BD; suy ra ∆BDO = ∆COF (c-g-c)

OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c)
OM = OC = R
(hai đường cao tương ứng) (6). Từ (5) và (6) suy ra DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
c) Đặt: AD = x; AE = y
(x, y > 0)
Ta có: DE
(định lí Pitago).
Vì AD + DE + AE = 2R
= 2R (6)

Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có:

(7).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Từ (6) và (7) suy ra:




xy

SADE
.
Vậy max SADE =

x = y
∆ADE cân tại A.

Câu 5: Xét điểm A và hình tròn (C1) có tâm A, bán kính bằng 1.



- Nếu tất cả 98 điểm còn lại đều nằm trong (C1) thì hiển nhiên bài toán được chứng minh.
- Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (C1).
Ta có: AB > 1 (1)
Vẽ hình tròn (C2) tâm B, bán kính bằng 1.
+ Giả sử C là một điểm bất kì khác A và B. Khi đó điểm C thuộc một trong hai hình tròn
(C1) và (C2). Thật vậy, giả sử C không thuộc hai hình tròn nói trên.
Suy ra: AC > 1 và BC > 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra bộ 3 điểm A, B, C không có hai điểm nào có khoảng cách nhỏ hơn 1 (vô lí vì trái với giả thiết).
Chứng tỏ C( (C1) hoặc C( (C2). Như vậy 99 điểm đã cho đều thuộc (C1) và (C2).
Mặt khác 99 = 49.2 + 1 nên theo nguyên tắc Dirichle ắt phải có một hình tròn chứa không