Toán xác suất thống kê

Bài 3
Các phân phối xác suất thường gặp
Phân phối nhị thức
Phép thử Bernoulli
Xét một thí nghiệm chỉ có 2 khả năng xảy ra: “thành công” hoặc “thất bại”.
Thành công với xác suất p.
Thất bại với xác suất 1-p.
Thí nghiệm như vậy gọi là phép thử Bernoulli, ký hiệu B(1,p).
Phân phối nhị thức
Phép thử Bernoulli – ví dụ.
Tung đồng xu: hình / số.
Mua vé số: trúng / không trúng.
Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: đúng / sai.
Kiểm tra ngẫu nhiên hàng hóa: tốt / xấu.
Phân phối nhị thức
Phân phối nhị thức
Thực hiện phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc lập.
Đặt
X = “Số lần thành công trong n lần thí nghiệm”
X = 0, 1, 2, …, n.
X có phân phối nhị thức với tham số p.
Ký hiệu: X ~ B(n,p).
Phân phối nhị thức
Công thức
Xét X ~ B(n,p)
Phân phối nhị thức
Ví dụ
Cho X ~ B(5,0.1)
Tính P(X=1)

Phân phối nhị thức
Mean
Hình dạng của phân phối nhị thức sẽ phụ thuộc vào p và n.
n = 5 và P = 0.1
n = 5 và P = 0.5
Phân phối nhị thức
Nếu X ~ B(n,p):
1) Trung bình
2) Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn
n: số lần thực hiện thí nghiệm
- p: xác suất thành công ở 1 lần thí nghiệm
- q = 1- p.
Phân phối nhị thức
n = 5 P = 0.1
n = 5 P = 0.5
Mean
0
.2
.4
.6
0
1
2
3
4
5
x
P(x)
.2
.4
.6
0
1
2
3
4
5
x
P(x)
0
Ví dụ
Phân phối Poisson
Số các biến cố xảy ra trong một khoảng thời gian cho trước.
Số các biến cố trung bình trên một đơn vị là .
Ví dụ
Số người xếp hàng tính tiền ở siêu thị, số cuộc điện thoại đến bưu điện trong 1 ngày, số máy tính hư trong 1 ngày ở 1 khu vực, …
Phân phối Poisson
Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1, 2, … gọi là có phân phối Poisson với tham số  nếu



k = 0, 1, 2, …
Phân phối Poisson
Trung bình
Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn
Với  = số biến cố xảy ra trung bình trên 1 đơn vị
Phân phối Poisson
Ví dụ
Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1 giờ có
a. Đúng 3 ống sợi bị đứt.
b. Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt.
Bảng tra phân phối Poisson
Ví dụ: Tìm P(X = 2) nếu  = .50
Phân phối xác suất Poisson
P(X = 2) = .0758
 = .50
Phân phối Poisson
Hình dạng của phân phối Poisson phụ thuộc vào tham số  :
 =0.50
 =3.00
Định lý Poisson
Cho X ~ B(n,p)




Dùng phân phối Poisson để xấp xỉ phân phối nhị thức khi n >> p.
Mô hình Poisson
Mô hình Poisson :
+ Xét n phép thử Bernoulli.
+ Trong đó xác suất thành công là p.
+ Các phép thử độc lập với nhau.
(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết quả của các phép thử kia)
+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phép
thử.
+ Trong đó n lớn ( n  100) và p nhỏ (p  0,01
và np  20).
Khi đó X ~ P().
Mô hình Poisson
Ví dụ
Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001. Tính xác suất trong 2000 trẻ có không quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.
Phân phối đều
Tất cả các khả năng có thể xảy ra của biến ngẫu nhiên có phân phối đều có xác suất bằng nhau.
X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~ U([a,b]).
xmin
xmax
x
f(x)
Tổng diện tích miền giới hạn bởi phân phối đều là 1.0
Phân phối đều
Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn [a,b]
f(x) =
với
f(x) = giá trị hàm mật độ tại điểm x
a = giá trị nhỏ nhất của x
b = giá trị lớn nhất của x
Phân phối đều
Kỳ vọng



Phương sai
Phân phối đều
Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6
2
6
.25
f(x) = = .25 for 2 ≤ x ≤ 6
6 - 2
1
x
f(x)
Phân phối mũ
Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi là có phân phối mũ nếu có hàm mật độ xác suất



Với
 số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian.
t số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.
e = 2.71828
Ký hiệu: T ~ exp(t), T là khoảng thời gian giữa 2 lần xảy ra các biến cố.
Phân phối mũ
Hàm phân phối xác suất


Kỳ vọng và phương sai


Phân phối mũ
Ví dụ: Số khác hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là 15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao nhiêu.
Trung bình có 15 khách hàng đến trong 1 giờ, do đó  = 15
3 phút = 0.05 giờ
T: thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy.
P(T < .05) = 1 – e- t = 1 – e-(15)(.05) = 0.5276
Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.
Phân phối mũ
Ví dụ:
Trong một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, biết tuổi thọ của một mạch điện là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tuổi thọ trung bình là 6,25 năm. Nếu thời gian bảo hành của sản phẩm là 5 năm. Hỏi có bao nhiêu % mạch điện của nhà máy khi bán ra thị trường phải thay thế trước thời gian bảo hành.
Phân phối chuẩn
Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong R gọi là có phân phối chuẩn với tham số  và 2 nếu hàm mật độ xác suất




Với: EX =  và VarX = 2.
Ký hiệu: X ~ N(, 2)
Phân phối chuẩn
Dạng như một cái chuông
Có tính đối xứng
Trung bình = Trung vị = Mode
Vị trí của phân phối được xác định
bởi kỳ vọng, 
Độ phân tán được xác định bởi độ
lệch tiêu chuẩn, σ
Xác định từ +  to  
Trung bình = Trung vị = Mode
Phân phối chuẩn
Bằng việc thay đổi các tham số μ và σ, ta nhận được nhiều dạng phân phối chuẩn khác nhau
Phân phối chuẩn
x
f(x)
μ
σ
Thay đổi μ dịch chuyển phân phối qua trái hoặc phải
Thay đổi σ làm tăng hoặc giảm độ phân tán.
Hàm phân phối của phân phối chuẩn
Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình μ và phương sai σ2 , X~N(μ, σ2), hàm phân phối của X là
f(x)
Xác suất của phân phối chuẩn
Xác suất X  (a,b) đo bởi diện tích giới hạn bởi đường cong chuẩn.
b
μ
a
Xác suất của phân phối chuẩn
Phân phối chuẩn hóa
Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2). Chuẩn hóa X bằng cách đặt


Khi đó EZ = 0 và VarZ = 1. Ta nói Z có phân phối chuẩn hóa. Ký hiệu




Phân phối chuẩn hóa
Nếu X có phân phối chuẩn với trung bình là 100 and độ lệch tiêu chuẩn là 50, thì giá trị của Z ứng với X = 200 is


Z
100
2.0
0
200
X
(μ = 100, σ = 50)
(μ = 0, σ = 1)
Phân phối chuẩn hóa
Hàm mật độ



Hàm phân phối
Tính xác suất
Tính xác suất
Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
Để tìm xác xuất P(XZ
Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
P(Z<1.04) = (1.04)= 0.8508
Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)
Ví dụ:
P(Z < 2.00) =
 (2.00) = .9772
Z
0
2.00
.9772
Do tính đối xứng
(-z) = 1 - (z)
Ví dụ:
P(Z < -2.00) = (-2.00)= 1 –  (2.00) = 1 - 0.9772
= 0.0228
Ví dụ
Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình là 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0. Tìm P(X < 8.6).
X
8.6
8.0
Ví dụ
Z
0.12
0
X
8.6
8
μ = 8
σ = 10
μ = 0
σ = 1
P(X < 8.6)
P(Z < 0.12)
Ví dụ
Z
0.12
z
(z)
.10
.5398
.11
.5438
.12
.5478
.13
.5517
(0.12) = 0.5478
Tra bảng chuẩn hóa
0.00
= P(Z < 0.12)
P(X < 8.6)
Ví dụ
Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0.
Tìm P(X > 8.6)
Ví dụ
Tìm P(X > 8.6)…
Z
0.12
0
Z
0.5478
0
1.000
1.0 - 0.5478 = 0.4522
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - 0.5478 = 0.4522
0.12
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn
Cho X ~ B(n,p). Khi n lớn và p không quá gần 0 và 1.
Tính P(X < c)?
Tính P(a < X < b)?
Dùng phân phối chuẩn.
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn
Đặt
 = EX = np
2 = VarX = np(1-p)
Tạo biến ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn hóa từ phân phối nhị thức
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn
Ví dụ
Trong một cuộc bầu cử ở một thành phố, biết rằng 40% người dân ủng hộ ứng cử viên A. Chọn ngẫu nhiên 200 người, hỏi xác suất gặp được từ 76 đến 80 người ủng hộ ứng cử viên A là bao nhiêu?
Ví dụ

E(X) = µ = nP = 200(0.40) = 80
Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0.40)(1 – 0.40) = 48