Toán kinh tế-Phần II-Chương3

5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
1
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiện (x1, x2,… xn) (xi  R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn.
Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi  R, i = 1,.. n}
Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x.
Định nghĩa: Khoảng các giữa 2 điểm x = (x1,x2,… xn),
y = (y1,y2,… yn)  Rn:
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
2
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Một số tính chất của d:
a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  xi = yi, I  x = y
b) d(x,y) = d(y,x)
c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y)
Điểm biên, tập đóng: Điểm x0  Rn được gọi là điểm biên của D  Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Nếu biên của D thuộc D thì D được gọi là tập đóng.
Lân cận: Cho x0Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x  Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0.
Điểm trong: Điểm x0Rn được gọi là điểm trong của D  Rn nếu D chứa một lân cận của x0.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
3
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Điểm giới hạn: Điểm x0Rn được gọi là điểm giới hạn của D  Rn nếu mọi lân cận của x0 chứa ít nhất một điểm x: xD, x≠x0.
Đặc biệt, nếu điểm x0  D không phải là điểm giới hạn thì nó được gọi là điểm cô lập của D.
Hàm nhiều: D  Rn. Một ánh xạ f: D  R, tức là một qui tắc (x1, x2,… xn)  D một số thực z được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu:
D: miền xác định
f(D) = {z  D  z = f(x1, x2,… xn), (x1, x2,… xn)  D} gọi là miền giá trị
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
4
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Hàm 2 biến: D  R2. Một ánh xạ f: D  R, tức là một qui tắc (x,y)  D một số thực z được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu:
D: miền xác định
f(D) = {z  D  z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị
Ví dụ: Tìm miền xác định:
z = 2x – 3y +5
z = ln(x + y -1)
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
5
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y) xác định trên D  R2 và M0(x0,y0) là điểm giới hạn của D . Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến dần đến M0(x0,y0), nếu:
 > 0,  > 0: d(M,M0) <  => f(M) – L < 
,
,
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
6
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến.
Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.
Ví dụ:
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
7
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Định nghĩa: Nếu
Thì f được gọi là liên tục tại (x0,y0)
Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.
Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D  R2 thì f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
8
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

3. ĐẠO HÀM RIÊNG
Định nghĩa: z = f(x,y) là một hàm số xác định trong miền D, M0(x0,y0)  D. Nếu cho y = y0, y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0. Ký hiệu:
Đặt xf = f(x0 + x, y0) - f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
9
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y.
Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n3).
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
10
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm riêng cấp cao:
Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. Ta có 4 đạo hàm riêng:




Tương tự, ta có thể định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 3,…
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
11
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0.
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3)
Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng:

Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
12
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm số y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B)
thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0.
* Chú ý rằng mọi hàm số ẩn đều biểu diễn được dưới dạng y = f(x).
Ví dụ: xy – ex + ey = 0
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
13
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:
Ví dụ: Tính y’ nếu:
F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0
F(x,y) = xy – ex + ey = 0
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
14
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0.
Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:


Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z)
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
15
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

4. CỰC TRỊ
Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận  của M0 sao cho f(M)  f(M0), M   (f(M)  f(M0), M  ). F(M0) gọi chung là cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0
Ta có khái niệm điểm dừng như trong trường hợp hàm một biến: Nếu tại (x0,y0) các đạo hàm riêng không tồn tại hoặc bằng 0 được gọi là điểm dừng của f.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
16
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Điều kiện đủ của cực trị: Giả sử M0(x0,y0) là một điểm dừng của hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận của M0. Đặt:
r = fxx(M0) , s = fxy(M0) , t = fyy(M0)
1) Nếu s2 – rt < 0: thì f đạt cực trị tại M0. Nếu r > 0 (r < 0) thì f đạt cực tiểu (cực đại)
2) Nếu s2 – rt > 0: f không đạt cực trị tại M0.
3) Nếu s2 – rt = 0: Chưa kết luận được (trường hợp nghi ngờ)
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8,
z = x3 + y3
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
17
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x,y) trong đó các biến x,y bị ràng buộc bởi hệ thức g(x,y) = 0 là cực trị có điều kiện.
Điều kiện cần (Phương pháp nhân tử Lagrange):
Nếu f(x,y) đạt cực trị có điều kiện g(x,y) = 0 tại điểm M0 thì tồn tại  sao cho:

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2
với điều kiện x + y + 2 = 0.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
18
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Phương pháp nhân tử Lagrange có thể mở rộng cho hàm số n biến (n3):
Giả sử M0(x0,y0,z0) là cực trị có điều kiện của hàm số
u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0 thì:

Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z
với điều kiện x2 + y2 + z2 – 1 = 0