Toán kinh tế-Phần II-Chương 2

5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và x0  (a,b). Nếu tồn tại
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0)
Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì
Ký hiệu dy/dx, df/dx
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
2
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

- Đạo hàm bên phải:
- Đạo hàm bên trái:
Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,
f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
3) u/v cũng có đạo hàm tại xV(x)0 và
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
4
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0 (c: hằng số)
(x)’ = x-1 (  R, x > 0)
(ax)’ = axlna (a > 0, a ≠ 1)
(ex)’ = ex
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
6
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Đạo hàm cao cấp:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x).
Ví dụ: Cho y = x (  R, x > 0), y = kex, tìm y(n)
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
7
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)
trong đó u(0) = u, v(0) = v
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
8
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. VI PHÂN

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f.
Ví dụ: tìm dy với
Vi phân của tổng, tích, thương:
Từ công thức của đạo hàm ta suy ra:
1) d(u + v) = du + dv
2) d(u.v) = vdu + udv
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
9
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng:
Khi x0, thì f(x0+x) – f(x0) và f’(x0)x là hai VCB tương đương, nên khi x khá nhỏ, ta có công thức gần đúng
f(x0+x)  f(x0) + f’(x0)x
Ví dụ, tìm
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
11
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
12
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

QUI TẮC L’HOSPITAL khử dựng vô định khi tìm giới hạn
1. Dạng 0/0, /
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b)
Nếu
thì
Nhận xét: (1) Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
(2) Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
13
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
14
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

2. Dạng 0.,  - : Tìm cách chuyển chúng về dạng 0/0, /.
Ví dụ:
3. Dạng vô định: 00, 1, 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)
Ví dụ:
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
15
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng trong khoảng đó.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm trong khoảng đó.
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
16
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị.
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại.
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
17
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong khoảng (a,b) chứa điểm x0
a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0.
b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0.
c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0.
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
5/28/2009
Hàm số và giới hạn hàm số
18
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.
2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm.
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]