Toán kinh tế-Phần II-Chương 1

PHẦN II. VI TÍCH PHÂN
Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ


Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X, được cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc f, thì f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu:

a) Đơn ánh: x1, x2  X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)
b) Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x)
c) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh
d) Nếu f: XY là song ánh thì f-1: YX là ánh xạ ngược của f
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa hàm số: Với X  R, ta gọi ánh xạ f:XY là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x).
x: biến độc lập
y: biến phụ thuộc.
Tập X: miền xác định
Tập f(X) = {f(x): x  X}: miền giá trị của f
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của f:

,
Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị hàm số y = 2x2 - 4x + 6
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng miền xác định X:
a) f(x) = g(x),  x  X
b) (f  g)(x) = f(x)  g(x), xX
c) (fg)(x) = f(x)g(x), xX
d) Hàm số f/g có miền xác định X1 = X{x: g(x) = 0} :
e) (af)(x) = af(x), xX
Ví dụ: Cho ba hàm số f(x) = x2 + 6, , h(x) = x + 2
Xác định hàm số (f – 3h)/g và miền xác định của nó.
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f(u) = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu fog.
Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên tìm gof, goh và tìm miền xác định.
Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: XY là một song ánh thì f-1: YX được gọi là hàm số ngược của f.
Gọi (C), (C-1) là đồ thị của f, f-1 thì đồ thị của nó đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
M(x,y)  (C)  y = f(x)  x = f-1(y)  N(y,x)  (C-1)
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số đơn điệu:
f gọi là tăng trên (a,b) nếu: x1,x2  X: x1 < x2 => f(x1)  f(x2)
f gọi là giảm trên (a,b) nếu: x1,x2  X: x1 < x2 => f(x1)  f(x2)
f được gọi là bị chặn trên X nếu: M: f(x)≤ M,  x  X
Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu.
Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D  X.
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x  X
Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f.
Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0 = 2. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0=.
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Hàm số f có miền xác định X, với x  X, -x  X.
a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X
b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X
Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x2 là hàm số chẵn,
là hàm số lẻ.
Ghi chú: Gọi (C) là đồ thị của hàm số f.
a) Nếu f là hàm số chẵn thì (C) đối xứng qua Oy:
(x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (x,f(x))  (C)
b) Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ:
(x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (-x,-f(x))  (C)
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Hàm số luỹ thừa: y = x , với   R
Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc .
  N: miền xác định R
 nguyên âm: miền xác định x ≠ 0.
 có dạng 1/p, p  Z: miền xác định phụ thuộc vào p chẵn, lẻ
 là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x tại mọi x  0 nếu  > 0 và tại mọi x > 0 nếu  < 0.
Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu  < 0.
2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1)
Hàm số mũ xác định với mọi x dương.
Hàm số mũ tăng khi a > 1.
Hàm số mũ giảm khi a < 1.
Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ.
4. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1
Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.
Hàm số logax tăng khi a > 1
Hàm số logax giảm khi a < 1
Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị
Hàm số y = logax là hàm số ngược của hàm số y = ax
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Một số tính chất của logax:
Loga(x1x2) = Loga(x1) + Loga(x2)
Logaxα = αLogax
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
5. Hàm số lượng giác:
y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2
y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2
y = tgx, miền xác định  x ≠ (2k+1)/2, hàm lẻ, chu kỳ 
y = cotgx, miền xác định  x ≠ k, k  Z, hàm lẻ, chu kỳ 
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
6. Hàm số lượng giác ngược:
Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [-/2,/2] và là một hàm số tăng.
Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0,] .
Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (-/2,/2) và là hàm số tăng.
Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0,) là hàm số giảm.
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản.
Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp.
Ví dụ: Hàm số f(x) là hàm số sơ cấp.
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số:
Định nghĩa lân cận:
x thuộc lân cận của x0   > 0: x-x0 < 
x thuộc lân cận của +  A: x > A
x thuộc lân cận của -  B: x < B
hay mở rộng thêm:
x thuộc lân cận của x0 và x ≠ x0   > 0: 0 < x-x0 < 
x thuộc lân cận của x0 và x > x0  x0 < x < x0 + 
x thuộc lân cận của x0 và x < x0  x0 -  < x < x0
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa giới hạn: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn tại). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x x0, nếu  > 0 cho trước,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) – L < . Ký hiệu:
Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa giới hạn một bên:
a) Giới hạn bên phải:
 > 0,  > 0: x0 < x < x0 +   f(x) – L < 
b) Giới hạn bên trái:
 > 0,  > 0: x0 -  < x < x0  f(x) – L < 
Định lý:
Ví dụ, Tim giới hạn f(x) khi x0
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của điểm x0 thì:
.
Định nghĩa giới hạn lân cận :
nếu  > 0, N > 0 đủ lớn: x > N  f(x) - L < 
nếu  > 0, N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn: x < N  f(x) - L < 
Ví dụ, chứng minh rằng
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Giới hạn vô hạn của hàm số:
N > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) > N
N < 0 có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) < N
Ví dụ: chứng minh
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: Trong cùng một quá trình, nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 với L1, L2  R, thì
a) lim[f(x) + g(x)] = L1 + L2
b) lim[f(x)g(x)] = L1L2
c) lim C = C
d) lim[Cf(x)] = CL1
e) lim[f(x)]m = L1m (L1m  R)
f) lim[f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0)
Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.,  - , 1 thì phải biến đổi để khử chúng.
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ: Tìm



Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu
Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]
Ví dụ: Tìm
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
4. Một số giới hạn đặc biệt:


C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ: Chứng minh:
Ví dụ: Tìm:
,
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
4. So sánh vô cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0
Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình:
Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)
Nếu lim[f(x)/g(x)] = , ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)
Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, ta nói f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc
Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, ta nói f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x)
Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f1(x) , g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f1(x)/g1(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x)
Ví dụ: Chứng minh
Khi x 0
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
7. So sánh vô cùng lớn:
Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x) = 
Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL
Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB
Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình:
Nếu lim[F(x)/G(x)] = , ta nói F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)
Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, ta nói F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)
Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc.
Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, ta nói F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu F(x)~G(x)
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) , G(x)~G1(x) thì lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x)
Ví dụ: Tìm
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu:
Nếu chỉ có hoặc
thì f được gọi là liên tục bên phải (hoặc bên trái) tại x0
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0. Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:
- Hoặc f(x) không xác định tại x0
- Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x  x0
- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x  x0
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0

Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó, được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b.
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x0: kf (k hằng số), f+g, fg (g(x0)≠0).

Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên tục tại u0 thì Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u0)
Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì x0  (a,b): f(x0) = 0.