Toán kinh tế-Chương 2

C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính:
1. Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng:
xj là biến,
aij được gọi là hệ số (của ẩn)
bi: được gọi là hệ số tự do
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2. Ma trận các hệ số của phương trình:
3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:
Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4. Ma trận bổ sung:
1.2. Nghiệm:
Một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số thực (c1,c2,…cn) thoả hệ phương trình (1).
Hệ phương trình (1) được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, và được gọi là không tương thích (hệ vô nghiệm) nếu nó không có nghiệm.
Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương, nếu các tập hợp nghiệm của chúng là trùng nhau.
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.3. Điều kiện tồn tại nghiệm:
Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung .
.
1.4. Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm:
2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không.
2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:
Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do.
2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.3. Ví dụ: Giải hệ phương trình:
3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.1. Định nghĩa:
Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không.
Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổ sung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng ma trận bậc thang.
3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
3.3.1. Định nghĩa:
3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
3.3.1. Định nghĩa:
Hệ luôn có nghiệm tầm thường
3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3.2. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường.
Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số.
3.3.3. Ví dụ:
3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2.
3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3.4. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k tham số đó là xk+1, … xn.
Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau: