Toán kinh tế-Chương 1

Toán kinh tế 1

Nguyễn Ngọc Lam

Điện thoại cơ quan: 838 831(16) – 839 089(16)

Điện thoại cá nhân: 738 999 – 0918 625526
(Hạn chế điện thoại ngoài giờ hành chính)

Email: [email protected]

www.nguyenngoclam.com

Lịch dạy
Sinh viên không được chuyển nhóm để thi hoặc kiểm tra
Lịch thi và kiểm tra sẽ được báo trước 2 tuần trong lớp
Kết quả thi và kiểm tra sẽ được công bố trên website
E04: Diệp Thu Thắm 0126.7973424–TC4; Dương Hoàng Nghiêm 0953.934305–TC3
E03 Đỗ thị Mỹ Trinh 01238 723083 – TC1
01
02
Tài liệu tham khảo
Bài giảng Đại số tuyến tính và ứng dụng. Nguyễn Quang Hoà. Khoa Khoa học - Đại học Cần Thơ. 2006.
Giáo trình Đại số tuyến tính. Hồ Hữu Lộc. Khoa Khoa học - Đại học Cần Thơ. 2006.
Bài giảng Đại số tuyến tính. Đặng Văn Thuận. Khoa Sư phạm - Đại học Cần Thơ. 1999.
Toán học cao cấp, tập 1,2,3. Nguyễn Đình Trí. NXB Giáo dục. 2004.
Bài giảng Vi tích phân C. Lê Phương Quân. Khoa Khoa học - Đại học Cần Thơ. 2006.
Tất cả các giáo trình bài giảng về Đại số tuyến tính và Vi tích phân
Giới thiệu
Toán
kinh tế 1
Mô hình
toán kinh tế
Kinh tế
học
Kinh tế
lượng
….
Ví trị của học phần
Toán
kinh tế 2
Nội dung học phần
Đại số tuyến tính
Vi tích phân
C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1. MA TRẬN
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n
aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j.
Ký hiệu: A = [aij]m x n hoặc A = (aij)m x n
1. MA TRẬN
1.1.2. Ma trận vuông:
Ma trận vuông: Khi m = n , gọi là ma trận vuông cấp n
Các phần tử a11,a22,…ann được gọi là các phần tử chéo. Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính.
1. MA TRẬN
Ma trận tam giác trên:
trong đó aij = 0 nếu i > j được gọi là ma trận tam giác trên.
Ma trận tam giác dưới:
trong đó aij = 0 nếu i < j được gọi là ma trận tam giác dưới.
1. MA TRẬN
Ma trận chéo:
trong đó aij = 0 nếu i ≠ j được gọi là ma trận chéo.
Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aii=1; aij = 0, i≠j
1. MA TRẬN
1.1.3. Vectơ hàng (cột): Ma trận chỉ có một hàng (cột) được gọi là vectơ hàng (cột).
1.1.4. Ma trận không:
1.1.4. Ma trận bằng nhau:
1) A=[aij]m x n; B=[bij]m x n
2) aij = bij với mọi i,j
Khi A bằng B ta viết A = B.
1. MA TRẬN
1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[aij]m x n => AT=[aji]n x m
1. MA TRẬN
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN:
1.2.1. Phép cộng hai ma trận
1. Định nghĩa: A=[aij]m x n; B=[bij]m x n => A + B =[aij + bij]m x n
2. Tính chất: Nếu các ma trận A, B, C,  cùng cấp m x n, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau:
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
 + A = A
Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A = 
1. MA TRẬN
1.2.2. Phép nhân một số với ma trận:
1. Định nghĩa: cho A=[aij]m x n, kR thì tích kA là một ma trận cấp m x n được xác định bởi kA=[kaij]m x n
2. Tính chất: cho k, h  R:
k(A + B) = kA + kB
(k + h)A = kA + hA
1. MA TRẬN
1.2.3. Phép nhân hai ma trận:
1. Định nghĩa : Xét hai ma trận A=[aik]m x p; B=[bkj]p x n, Người ta gọi tích AB là ma trận C=[cij]m x n có m hàng và n cột phần tử cij được xác định như sau:
1. MA TRẬN
2. Một số tính chất: Với các giả thuyết các phép tính viết dưới dạng thực hiện được, ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau:
(A.B).C = A.(B.C)
A(B+C) = AB + AC
(B+C)A = BA + CA
k(BC) = (kB)C = B(kC)
Phép nhân nói chung không có tính giao hoán
A=[aij]n x n => I.A = A.I = A
1. MA TRẬN
1.3. VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng.
1. MA TRẬN
Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo kế hoạch sản xuất cho bởi ma trận A và ma trận B định mức hao phí các vật liệu.
2. ĐỊNH THỨC
2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA:
A là ma trận vuông cấp 2:
A là ma trận vuông cấp 1:
A= [a11] thì det(A) = a11
thì det(A) = a11a22 – a12a21
2. ĐỊNH THỨC
A là ma trận vuông cấp n
Ký hiệu Aij là ma trận vuông cấp n-1 nhận được từ A bằng cách xoá hàng i cột j.
Ta gọi phần bù đại số của aij là số Cij = (-1)i+jdet(Aij). Ta nói định thức cấp n của A là:
det(A) = a11C11 + a12C12 + …+ a1nC1n
2. ĐỊNH THỨC
Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức:
Det(A) = 1(45+48) – 2(-36-42) + 3(32-35) = 240
2. ĐỊNH THỨC
2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:
Tính chất 1:AT=A
Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột.
Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.
2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không.
Tính chất 4: Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn là số không thì bằng không.
Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k.
Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài định thức.
Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ thì bằng không.
2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 7: Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức đó có thể phân tích thành tổng của hai định thức.
Dòng thứ i nào đó của định thức có aij = a’ij + a”ij
thì det(A) = det(A’) + det(A”)


2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 8: Nếu định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hay của các cột khác) thì định thức ấy bằng không.
Tính chất 9: Khi ta công bội k của một hàng vào một hàng khác (hay bội k của một cột vào một cột khác) thì được một định thức mới bằng định thức cũ
2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giá bằng tích các phần tử chéo.
2. ĐỊNH THỨC
2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC:
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa.
Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp.
2. ĐỊNH THỨC
Ví dụ: Tính định thức bằng hai phương pháp:
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Trong phần này ta chỉ nghiên cứu ma trận vuông cấp n.
3.1. Ma trận không suy biến: Ta gọi ma trận vuông A cấp n là một ma trận không suy biến nếu det(A) ≠ 0.
3.2. Ma trận nghịch đảo: Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n thoả mãn: AB = BA = I thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.
Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả nghịch.
Ký hiệu: B = A-1, nghĩa là ta có AA-1 = A-1A = I
3.3. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo:
Định lý: Nếu A khả nghịch thì A-1 là duy nhất.
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.4. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo và biểu thức của nó:
Định lý: Nếu det(A)≠0 thì ma trận A có nghịch đảo A-1 được tính bởi công thức sau:
Trong đó Cij là phần bù đại số của phần tử aij.
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.5. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo:
3.5.1. Phương pháp dùng định thức:
Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.5.1. Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp của Gauss - Jordan:
1. Nhân một dòng nào đó của ma trận với một số thực khác không
2. Cộng vào một dòng của ma trận một dòng khác đã nhân với một số thực
3. Đổi chỗ hai dòng của ma trận cho nhau
Để tìm ma trận nghịch đảo dùng các phép biến đổi sơ cấp sau cho: [A│I] = [I│A-1]
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ví dụ, tìm ma trận nghịch đảo:
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
4.1. Ma trận con: ma trận A cấp m x n, gọi p là một số nguyên dương, pĐịnh nghĩa: Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi m-p hàng và n-p cột gọi là ma trận con cấp p của A
Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A.
Ví dụ: Xét ma trận cấp 3x4:
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
4.2. Hạng của ma trận:
Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A.
Nếu r là hạng của ma trận nếu:
Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0.
Mọi định thức con cấp lớn hơn r trong ma trận A đều bằng 0.
Ký hiệu: rankA = r
Ví dụ: Tìm hạng A
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
4.3. Ma trận bậc thang:
4.3.1. Định nghĩa:
Một dòng của ma trận được gọi là dòng 0 nếu nó chỉ gồm những phần tử 0.
Ngược lại, nếu một dòng của ma trận có ít nhất một phần tử khác 0 thì được gọi là dòng khác 0.
Phần tử khác 0 đầu tiên của một dòng được gọi là phần tử chính của dòng đó.
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang khi thoả các điều kiện sau:
A không có dòng 0 hoặc dòng 0 luôn ở dưới các dòng khác 0.
Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên.
4.3.2. Ví dụ:
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
4.2.3. Định lý về hạng của ma trận:
Cho A, B là hai ma trận cùng cấp. Nếu B là ma trận nhận được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp thì rankA = rankB.
Hệ quả: Hạng của ma trận A bằng số dòng khác không của ma trận dạng bậc thang thu được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp.
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
4.2.4. Thuật toán đưa một ma trận về ma trận dạng bậc thang
Biến đổi sao cho phần tử chính ở dòng một về vị trí cột đầu tiên so với p phần tử chính ở các dòng khác.
Biến đổi sao cho các phần tử nằm phía dưới phần tử chính của dòng đầu tiên đều bằng 0.
Làm tương tự đối với hàng 3, 4….
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
4.3. Các phương pháp tìm hạng ma trận.
4.3.1. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa.
Bước 1: Tính các định thức con cấp p cao nhất có trong A:
- Nếu gặp một định thức khác 0 thì kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó.
- Nếu tất cả các định thức đều bằng 0 thì tiếp tục bước 2.
Bước 2: Tính các định thức con cấp p-1 có trong A:
- Nếu gặp một định thức khác 0 thì ta kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó.
- Nếu tất cả các định thức đó đều bằng 0 thì tiếp tục bước 3.
Bước 3, 4,… cho đến khi tìm được rankA
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
4.3.2. Phương pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp.
Để tìm hạng của ma trận A ta biến đổi ma trận A về dạng bậc thang, số dòng khác dòng 0 là hạng của ma trận A.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận.