Toan kho

Chuyên đề :

Một số bài tập hình học phẳng
cho học sinh giỏi




Năm học 2006 - 2007
Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn























$1- Một số bài toán về đường thẳng và đường tròn đi qua điểm cố định, điểm nằm trên đường thẳng cố định và
đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Đối với bài toán chứng minh liên quan đến yếu tố cố định, một vấn đề rất quan trọng là dự đoán được yếu tố cố định nói trên. Muốn dự đoán được điểm cố định, đường thẳng cố định hay đường tròn cố định thoả mãn đầu bài ta thường sử dụng các phương pháp sau:
1) Giải bài toán trong các trường hợp đặc biệt để thấy được yếu tố cố định cần tìm. Từ đó suy ra trường hợp tổng quát.
2) Xét những đường thẳng đặc biệt của họ để suy ra yếu tố cố định cần tìm.
3) Dựa vào tính đối xứng, sự bình đẳng của các đối tượng (nếu có) để hạn chế được phạm vi có thể có của yếu tố cố định.
4) Dùng phép suy diễn để khẳng định: Nếu họ các đường thẳng đi qua một điểm cố định hay tiếp xúc với một đường tròn cố định thì điểm cố định cần tìm hay đường tròn cố định cần tìm, cũng như với bài toán tìm đường thẳng cố định thì yếu tố cần tìm bắt buộc phải là một đối tượng cụ thể nào đó.

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là điểm nào đó
trên cạnh AC với M khác A và C. Đường thẳng BM cắt đường tròn lần nữa tại N.
Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua N vuông góc với NC
cắt nhau tại điểm Q.
Chứng minh rằng: Đường thẳng QM luôn đi qua một điểm cố định
khi M di chuyển trên cạnh AC.

Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD và M là trung điểm P thuộc đoạn thẳng AC
sao cho hai đường thẳng MP và BC cắt nhau, gọi giao điểm đó là T.
Gọi Q là điểm thuộc đoạn thẳng BD sao cho
Chứng minh rằng: Đường thẳng TQ luôn đi qua một điểm cố định
khi P chạy trên đoạn AC.

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD.
Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh CD.
Gọi P là giao điểm của AN và DM.
Gọi Q là giao điểm của BN và CM.
Chứng minh rằng: PQ luôn đi qua một điểm cố định
khi M và N theo thứ tự di chuyển trên AB và CD.

Bài 4. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B.
Một điểm P thay đổi trên đường tròn (O), P khác A và B.
Các đường thẳng PA, PB lại cắt (O’) theo thứ tự tại D và E.
Gọi M là trung điểm DE.
Chứng minh rằng: Đường thẳng PM đi qua một điểm cố định.
Một số bài tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn

Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M nằm trong tam giác.