Toán học: GT về hai bài toán ngụy biện

Trao đổi về một bài toán ngụy biện:

I- Ngụy biện :
1, Ngụy biện tích phân( có trong sách vô địch toán sinh viên Liên Xô nhưng chưa có lời giải đáp):

Ta chứng minh được mọi số tự nhiên đều bằng nhau dựa vào ngụy biện tích phân bất định sau:
I =
theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
đặt u=

du = -
, dv = cosxdx
v = sinx


I =
.sin x+
dx = 1 +
= 1 +I
Tiếp tục quá trình trên ta có: I = 1 + I = 2 + I = 3 + I =…….= n+ I
Từ trên suy ra: 1=2=3=4=…….=n
Vậy bài toán trên sai ở đâu ?

2, Ngụy biện quy nạp:

Chứng minh : 1=2=3=4=…….=n
n
N

N= 1 mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với n=k tức là ta có 1=2=3=…..=k – 1= k (*)
ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n= n+1
Tức là cần CM: 1=2=3=……=k= k+1
Theo (*) ta có : k – 1= k
k= k +1 vậy mệnh đề đúng với n= k +1
Theo nguyên lý quy nạp ta có mệnh đề đúng với
n
N tức là mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Vậy bài toán sai ở đâu ?

II- Gợi ý suy luận :

Bài toán 1: Chú ý từ I= 1+I
I – I = 1 từ đây không thể kết luận 1= 0 được vì theo quy ước ký hiệu: I=
chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f(x) và định lý: Nếu F(x)dx và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) thì:
F(x)= G(x) + C (C là một hằng số).
Như vậy việc giải quyết bài toán này làm cho học sinh nắm vững kiến thức về tích phân bất định.
Bài tóan 2: Chú ý: bài toán này sai ngay từ đầu, để bài toán có nghĩa cần phải có điều kiện n
2 .

( Việt Thao- sưu tầm đề và gợi ý).