Toan hoc 9

BÀI TẬP
CHỦ ĐỀ: TÌM VỊ TRÍ ĐIỂM ĐỂ:
* TAM GIÁC, TỨ GIÁC CÓ DIỆN TÍCH, CHU VI LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT)
* ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG (TỔNG – TÍCH ĐỘ DÀI) LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) hoặc KHÔNG ĐỔI.

BÀI 1: Cho (O ; R) , đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp.
b) Tính tích AH.AK theo R
c) Chứng minh
và từ đó suy ra ∆BMN đều.
d) Xác định vị trí của K để tổng KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài : Cho (O ; R) , đường kính AB = 2R, trên đoạn OA lấy điểm I (I khác A và O). Từ I vẽ Ix vuông góc với AB cắt (O ; R) tại C. Lấy điểm E tùy ý trên cung nhỏ BC (E khác B và C), nối AE cắt CI tại F. Gọi D là giao điểm của BC với tiếp tuyến tại A của (O;R).
a) Chứng minh tứ giác BEFI nội tiếp.
b) Chứng minh AF.AE = CB.CD
c) Tia BE cắt IC tại K, Giả sử I và F lần lượt là trung điểm các đoạn OA và IC. Chứng minh ∆AIF ~ ∆KIB, từ đó tính độ dài IK theo R.
d) Khi I là trung điểm của đoạn OA và E chạy trên cung nhỏ BC. Tìm vị trí điểm E để EB + EC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD. M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh các điểm A, B , H , K cùng thuộc một đường tròn. Các điểm B, M, F, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh HE // BD.
c) Khi OM =
, hãy tính diện tích hình quạt tròn được giới hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC.
d) Cho BC cố định và A chạy trên cung lớn BC; đặt AB = c , BC = a , AC = b. Tìm vị trí của A để tích a.b.c đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Cho (O ; R) có dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC; I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh các điểm A, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn; các điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Khi cung nhỏ BC có số đo bằng 90o. Tính độ dài dây cung BC và diện tích ∆OBC.
c) Cho đường thẳng qua E và vuông góc với EI cắt BC tại P. Chứng minh PE2 = PB.PC
d) Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC để ∆AEH có diện tích lớn nhất.
Bài 4: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N.
a) Chứng minh các điểm A, E , D , B cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn đó.
b) Chứng minh MN // DE.
c) Cho (O) và một dây AB cố định. Chứng minh độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆CDE không đổi khi C di động trên cung lớn AB.
d) Tìm vị trí của C trên cung lớn AB để diện tích ∆CDE lớn nhất.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) (AB < CD). Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Hai dây DI và CI lần lượt cắt dây AB tại M và N. Các tia DA và CI cắt nhau tại E. Các tia CB và DI cắt nhau tại F.
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
b) Chứng minh EF // MN
c) Chứng minh AI2 = IM.ID và IA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆AMD.
d) Cho AB cố định; C, D chuyển động. Gọi R1 là bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆AMD và R2 là bán kính của