Toan hinh dai hoc

CHƯƠNG 4:
SỰ TƯƠNG GIAO

4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU
4.4. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC MẶT

4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

4.3.1. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU:
a) Thay mặt phẳng hình chiếu bằng:
Giả sử ta có mặt phẳng hình chiếu P1, P2 (H. 4-17).
Thay mặt phẳng hình chiếu bằng là lấy mặt phẳng P2’ mới vuông góc với P1 thay mặt phẳng P2. Kết quả của việc thay mặt phẳng hình chiếu như vậy là ta có một đồ thức mới mà trục hình chiếu là
x’ = P1 P2’ và hướng đường dóng mới là hướng vuông góc với x’. Từ hình 4-17 ta thấy rằng đối với một điểm A bất kỳ, khi thay mặt phẳng hình chiếu bằng vị trí tương đối của điểm A đối với P1 không có gì thay đổi, do đó:
- Hình chiếu đứng A1 của A không thay đổi.
- Độ xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu mới bằng độ xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là:
A2’AX = A2AX = AA1
- Từ những nhận xét trên việc thay mặt phẳng hình chiếu bằng cho điểm A bất kỳ được thực hiện bằng cách dễ dàng (H. 4-18).
- Biết cách lập đồ thức mới của một điểm khi thay mặt phẳng hình chiếu bằng, ta suy ra cách thành lập đồ thức mới đối với một đường thẳng hay đối với một mặt phẳng.
Ta xét một vài thí dụ:
Thí dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1, A2B2). Thay mặt phẳng hình chiếu bằng sao cho trong hệ thống mới mặt phẳng hình chiếu mới AB là đường bằng. (H. 4-19).
Giải: Điều kiện ắt có và đủ để AB là đường bằng A1B1 là phải song song với trục hình chiếu. Do đó chọn x’ // A1B1. Hình chiếu bằng mới của đoạn thẳng là A2’B2’ (A2’Ax = A2Ax; B2’BX = B2BX). Dễ dàng nhận thấy độ dài của A2’B2’ chính là độ dài của đoạn thẳng AB và góc giữa A2’B2’ với x’ cũng là góc giữa AB với mặt phẳng hình chiếu đứng P1.
Thí dụ 2: Cho mặt phẳng ABC. Thay mặt phẳng hình chiếu bằng sao cho trong mặt phẳng hình chiếu mới ABC là mặt phẳng hình chiếu bằng (H. 4-20).
Giải: Mặt phẳng P2’ phải chọn vừa vuông góc với ABC vừa vuông góc với P1 nên nó vuông góc với một đường mặt của mặt phẳng ABC. Do đó trục hình chiếu mới x’ phải vuông góc với hình chiếu đứng của đường mặt của ABC.
Suy ra các bước vẽ:
Vẽ một đường mặt bất kỳ của ABC, ví dụ đường mặt AE.
Vẽ x’ A1E1.
Hình chiếu bằng mới của ABC là A2’B2’C2’. Ba điểm này thẳng hàng vì trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới ABC là mặt phẳng chiếu bằng.
Góc của A2’B2’C2’ với x’ chính là góc nghiêng của ABC đối với P1.
b) Thay mặt phẳng hình chiếu đứng:
Tương tự như trên, khi thay mặt phẳng hình chiếu đứng ta có (H.4-21):
- Hình chiếu bằng A2 của A không thay đổi.
- Độ cao của điểm A trong hệ thống hình chiếu mới bằng độ cao của điểm A trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là:
A1’Ax = A1Ax = AA2
Từ đó, việc thay mặt phẳng hình chiếu đứng cho điểm A bất kỳ được thực hiện một cách dễ dàng (H. 4-22), và ta suy ra cách thay mặt phẳng hình chiếu đứng cho một đường thẳng hay một mặt phẳng.
Một vài thí dụ áp dụng:
Thí dụ 1: Thay mặt phẳng hình chiếu đứng để đường bằng AB trở thành đường thẳng chiếu đứng (H.4-23).
Giải: Để đường bằng AB trở thành đường thẳng chiếu đứng phải chọn x’ vuông góc A2B2. Hình chiếu đứng mới của AB trùng thành một điểm, cách x’ một đoạn bằng độ cao của đường bằng trong hệ thống cũ.
Thí dụ 2: Thay mặt phẳng hình chiếu đứng để mặt phẳng chiếu bằng ABC trở thành mặt phẳng mặt (H.4-24).
Giải: ABC trở thành mặt phẳng mặt khi và chỉ khi A2B2C2 song song với trục hình chiếu.
Do đó ta chọn x’ // A2B2C2. Vì trong hệ thống mới mặt phẳng ABC là mặt phẳng mặt nên tam giác A1B1C1 bằng tam giác ABC.
c) Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu:
Như đã xét ở trên, bằng cách mặt phẳng hình chiếu ta có thể đưa bài toán đang xét về dạng đặc biệt để cách giải trở nên đơn giản hơn nhiều. Bằng cách thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu ta có thể đưa đường thẳng thường trở thành đường thẳng chiếu hoặc mặt phẳng thường thành mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu. Điều này sẽ trợ giúp rất nhiều trong việc giải các bài toán phức tạp, nhất là các bài toán về lượng trong mặt phẳng.
4.3.2 PHÉP QUAY HÌNH PHẲNG QUANH ĐƯỜNG BẰNG HAY ĐƯỜNG MẶT CỦA NÓ:
Dưới đây trình bày một phương pháp khác đưa mặt phẳng về vị trí song song với mặt phẳng hình chiếu: phương pháp quay hình phẳng quanh đường bằng hay đường mặt của nó.
Trước hết ta nhắc lại khái niệm quay một điểm quanh một đường thẳng:
Quay một điểm M quanh đường thẳng d một góc có hướng là thực hiện phép biến đổi sao cho:
1. ảnh M’ của M cùng với M nằm trong một mặt phẳng P vuông góc với d.
2. Khoảng cách của M và M’ đến d bằng nhau: OM = OM’ (O là giao điểm của P với d).
3. Góc MOM’ =
Đường thẳng d gọi là trục quay. Khoảng cách OM từ M đến d gọi là bán kính quay của điểm M (H.4-25).
Quay một hình quanh đường thẳng d một góc là quay mọi điểm của quanh d theo cùng một góc. Để quay một đường thẳng hay một mặt phẳng quanh đường thẳng d một góc là quay hai điểm của đường thẳng hay ba điểm của mặt phẳng quanh d theo cùng một góc. Từ đó để quay một hình phẳng quanh đường bằng hay đường mặt của nó ta chỉ cần quay một điểm của mặt phẳng ấy.
Ta xét một vài thí dụ:
Thí dụ 1: Cho mặt phẳng ABC có AB là đường bằng. Hãy quay mặt phẳng ABC quanh AB để Abc trở thành song song với mặt phẳng hình chiếu bằng.
Giải: Ta chỉ cần quay C quanh AB về vị trí C’ sao cho ABC’ song song với P2. Để xác định C’ ta dựa vào các điều kiện 1 và 2 của phép quay một điểm quanh đường thẳng.
- Điểm C và điểm C’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với AB (điều kiện 1). Vì AB là đường bằng nên mặt phẳng ấy là mặt phẳng chiếu bằng. Do đó:
C2C2’ A2B2.
Gọi O2 = C2C2’ A2B2. O2 chính là hình chiếu bằng của điểm O (O là giao điểm của AB với mặt phẳng chiếu bằng chứa CC’).
OC’ = OC (điều kiện 2). Từ điều kiện này ta dễ dàng xác định được C2’ khi biết độ dài của OC (H. 4-26).
Thí dụ 2: Vẽ trong mặt phẳng P (V1P, V2P) một tam giác đều ABC. Cạnh AB của tam giác cho trước (H. 4-27).
Giải: Để xác định đỉnh C ta gập mặt phẳng P, chẳng hạn, vào mặt phẳng P2. Việc gập được thực hiện bằng cách quay một điểm N bất kỳ của P (trên đồ thức ta lấy N V1P) quanh V2P đến N’ P2. Cách xác định N’ thấy rõ trên hình vẽ
(N’N2 V2P; O2N’ = O2N2*). Vết đứng V1P của mặt phẳng gập thành
V1’P PxN’. Điểm N’ còn có thể xác định với chú ý rằng PxN1 = PxN’. Hình gập của AB là A’B’, vẽ được bằng cách gắn nó lên đường thẳng IK.
Vì I V1P nên I’ V1P’; K V2P nên K K’. Với A’B’ làm cạnh, ta dựng được tam giác đều A’B’C’. A’B’C’ chính là hình gập của tam giác ABC cần vẽ. Sau đó theo C’ xác định C2 và C1. Chú ý là C’B’ cắt V2P ở E’ E E2 nên C2 E2B2 và C1 E1B1.
4.4 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC MẶT

4.4.1. GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT:
a) Giao của mặt phẳng với đa diện:
Giao của mặt phẳng với đa diện thường là một hay nhiều đa giác có cạnh là các giao tuyến của các mặt bên của đa diện với mặt phẳng và có các đỉnh là các giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng.
Để xác định giao của mặt phẳng với đa diện, ta có thể:
- Xác định các đỉnh của giao bằng cách tìm các giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng đã cho.
- Xác định các cạnh của giao bằng cách tìm các giao tuyến của các mặt bên của đa diện với các mặt phẳng đã cho.
Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng P với mặt chóp cho trên hình vẽ 4-28.
Giải: Ta chỉ cần vẽ giao tuyến của các mặt bên của đa diện với mặt phẳng đã cho.
Thí dụ ta vẽ giao tuyến của mặt SAC với mặt đã cho.
Để vẽ giao tuyến của mặt SAC với mặt phẳng P, ta tìm giao điểm K của đường thẳng SA với mặt phẳng P.
Theo hình vẽ ta có ngay giao điểm M của cạnh AC với mặt phẳng cắt (vì biết vết bằng AC của mặt phẳng SAC và biết vết bằng của mặt phẳng cắt). MK như vậy chính là giao tuyến của mặt phẳng SAC với mặt phẳng cắt, từ đó ta dễ dàng vẽ được đoạn KI là giao tuyến của mặt bên SAC với mặt phẳng cắt. Tương tự ta vẽ được đoạn IH là giao tuyến của mặt bên SCB với mặt phẳng đã cho và giao phải tìm là tam giác KIH .
b) Giao của mặt phẳng với mặt cong:
Nói chung giao của một mặt phẳng với một mặt cong là một đường cong phẳng và nếu mặt cong là mặt đại số bậc n thì giao của mặt phẳng với mặt đó là một đường cong đại số bậc n.
Muốn vẽ các điểm của giao một mặt phẳng với một mặt cong người ta thường làm như sau: Vẽ một mặt phẳng phụ trợ cắt mặt phẳng đã cho theo đường thẳng g và cắt mặt cong theo một đường l. Giao của g với l sẽ thuộc giao phải tìm (H.4-29). Dùng một số mặt phẳng phụ trợ ta sẽ được một số điểm cần thiết để vẽ giao phải tìm.
1. Giao của mặt phẳng với mặt cầu:
Giao của mặt phẳng với mặt cầu là một đường tròn.Hình chiếu của đường tròn này trên các mặt phẳng hình chiếu sẽ là các elíp. Các yếu tố xác định elíp được xác định theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng K với mặt cầu (H. 4-30).
Giải: Giao phải tìm là đường tròn có tâm I với I1 C1 D1. Vì mặt phẳng cắt là mặt phẳng chiếu đứng nên hình chiếu đứng của giao là đoạn thẳng A1B1 thuộc hình chiếu đứng K1 của mặt phẳng cắt. Biết hình chiếu đứng của giao ta dễ dàng suy ra hình chiếu bằng là một elíp có trục dài là C2D2 = A1B1 (với C1 D1 là điểm giữa của A1B1) và trục ngắn là A2B2. Các giao điểm của đường tròn vĩ tuyến chính với mặt phẳng cắt cho ta các điểm ranh giới thấy khuất E, G của giao trên hình chiếu bằng.
2. Giao của mặt phẳng với mặt nón:
Giao của mặt phẳng mặt nón có đáy là đường tròn sẽ là:
Một đường tròn , nếu mặt phẳng đã cho song song với mặt
phẳng đáy nón.
Một đường elíp, nếu mọi điểm của giao đều là những điểm hữu hạn, tức là mặt phẳng đã cho phải cắt tất cả các đường sinh của nón.
Một parabôn nếu giao có một và chỉ một ở vô tận, tức là mặt phẳng đã cho song song với một và chỉ một đường sinh của nón.
Một hypecbôn nếu giao có hai điểm ở vô tận, tức là mặt phẳng đã cho song song với hai đường sinh của nón.
Hai đường sinh khác nhau nếu mặt phẳng đi qua đỉnh của nón và cắt đáy nón ở hai điểm.
Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng K với mặt nón tròn xoay đỉnh S (H. 4-31).
Giải: Theo hình đã cho ta dễ nhận thấy rằng mặt phẳng chiếu đứng K cắt tất cả các đường sinh của nón. Vậy giao phảI tìm là một đường elíp. Hình chiếu đứng của elíp này là một đoạn thẳng thuộc K1. Hình chiếu bằng của elíp được vẽ bằng cách tìm một số điểm của giao tuyến thuộc các đường sinh và các đường tròn thuộc mặt nón.
3. Giao của mặt phẳng với mặt trụ:
Giao của mặt phẳng với mặt trụ đáy tròn sẽ là:
Một đường tròn nếu mặt phẳng đã cho song song với đáy trụ.
Một elíp nếu mặt phẳng đã cho không song song với đáy trụ.
Hai đường thẳng khác nhau nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh của trụ và cắt đáy trụ tại hai điểm khác nhau.
Thí dụ: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng K cho bằng vết với mặt trụ có đường chuẩn tròn cho như hình 4-32.
Giải: Để tìm các giao điểm của các đường sinh của trụ với mặt phẳng cắt K ta thay mặt phẳng hình chiếu đứng để mặt phẳng K đã cho trở thành mặt phẳng chiếu đứng. Từ hình chiếu đứng mới V1`K ta biết ngay dạng của giao. Theo hình vẽ ta dễ dàng thấy rằng mặt phẳng K cắt trụ theo một elíp. Hình chiếu đứng mới của elíp này là đoạn thẳng A1`B1` thuộc V1`K.Có hình chiếu đứng mới ta suy ra hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của elíp cần tìm. Ta cũng thấy rằng B, A là các điểm cao nhất, thấp nhất của giao.
4. Giao của mặt phẳng với mặt tròn xoay:
Giao của mặt phẳng với mặt tròn xoay sẽ là:
- Một đường kinh tuyến nếu mặt phẳng cắt đi qua trục.
- Một đường vĩ tuyến nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục.
- Một elíp nếu mặt phẳng cắt xiên góc với trục.
Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng P với mặt elípxôít tròn xoay cho như ở hình 4-33.
Giải: Vì mặt phẳng cắt không vuông góc với trục của mặt tròn xoay nên giao là một đường elíp.
Ta tìm các điểm của đường elíp giao bằng cách tìm giao điểm của các vĩ tuyến và các kinh tuyến của mặt tròn xoay với mặt phẳng đã cho.
4.4.2 GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT:
a) Giao của đường thẳng với đa diện:
Muốn tìm giao của một đường thẳng với một đa diện, người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. Nội dung phương pháp đó như sau:
- Qua đường thẳng đã cho dựng một mặt phẳng gọi là mặt phẳng phụ trợ.
- Tìm giao của mặt phẳng phụ trợ với đa diện đã cho. Giao này gọi là giao phụ.
- Tìm tập hợp các giao điểm của đường thẳng đã cho với giao phụ. Tập hợp đó chính là giao phải tìm.
Thí dụ: Vẽ giao của đường thẳng l với tứ diện ABCD
(H. 4-34).
Giải: Ta thực hiên như sau:
Dựng qua l mặt phẳng chiếu đứng K.
Vẽ giao của K với tứ diện, được giao phụ g là tứ giác MNPQ.
Vẽ giao của g với đường thẳng đã cho. Theo hình vẽ giao phải tìm là hai điểm K, H.
Theo hình vẽ , trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất. Trên hình chiếu bằng các điểm K, H đều thấy.
b) Giao của đường thẳng với mặt cong:
Muốn tìm giao của một đường thẳng l với một mặt cong người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. Nội dung phương pháp đó như sau :
- Qua đường thẳng đã cho l dựng một mặt phẳng phụ trợ K.
- Vẽ giao g của K với mặt đã cho, giao g được gọi là giao phụ.
- Tìm các giao điểm của g với l, tập hợp các giao điểm này chính là giao phải tìm.
1. Giao của đường thẳng với mặt cầu:
Ta đã biết mọi mặt phẳng đều cắt mặt cầu theo một đường tròn. Vấn đề là chọn mặt phẳng phụ trợ thế nào để việc vẽ giao của đường thẳng với đường tròn phụ được đơn giản.Người ta thường chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu hay mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu.
Trên hình 4-35, để tìm giao của l với mặt cầu ta chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu đứng K chứa l. Hình chiếu đứng K1 trùng với l1. Để tìm các giao điểm của l với đường tròn phụ v ta dùng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu bằng. Mặt phẳng hình chiếu bằng mới được chọn trùng với mặt phẳng phụ trợ. Dựa vào các hình chiếu bằng mới của l và đường tròn v, ta dễ dàng vẽ được các giao điểm H, K của l với v. Các giao điểm đó là các giao phải tìm.
Trên hình chiếu bằng điểm H thấy, điểm K khuất. Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất.
2. GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT NÓN, MẶT TRỤ:
Trong trường hợp này người ta thường dùng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho và đi qua đỉnh nón hay song song với đường sinh của trụ (để giao phụ là các đường thẳng).
Thí dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt nón có đường chuẩn năm trong mặt phẳng chiếu đứng D (H. 4-36 ).
Giải: Mặt phẳng phụ trợ xác định bởi l và đỉnh S của nón. Để vẽ giao của mặt phẳng phụ trợ với mặt nón ta làm như sau :
- Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng phụ trợ với mặt phẳng chứa đáy nón.
- Xác định các giao điểm 1, 2 của g với đường chuẩn. Giao của mặt phẳng phụ trợ với mặt nón (giao phụ) sẽ là hai đường thẳng S1, S2 với l.
Trên hình chiếu bằng, các điểm K, H đều thấy. Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất.
Thí dụ 2: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt trụ (H. 4-37 ).
Giải: Mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa l và song song với các đường sinh của mặt trụ. Trên hình vẽ mặt phẳng đó là mặt phẳng K chứa l và chứa một đường thẳng t song song với các đường sinh của mặt trụ (t đi qua điểm M trên l).
Mặt phẳng phụ trợ K cắt đường chuẩn của trụ ở hai điểm 1, 2. Giao phụ sẽ là hai đường sinh đi qua 1, 2. Các giao điểm K, H của các đường sinh này với l sẽ là giao của l với trụ.
Trên hình chiếu bằng điểm K thấy, điểm H khuất.
Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất.
THE END!