Toán Giải Tích

TOÁN A2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
Chương 2 –
TÍCH PHÂN BỘI
ThS. LÊ HOÀNG TUẤN
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Định nghĩa
: SGK
Cách tính
Định lý Fubini
a/ Nếu D xác định bởi
a
b
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
b/ Nếu D xác định bởi
d
c
Ví dụ
Tính
, với D là miền phẳng xác định bởi
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này, miền D có thể được biểu diễn lại là
Ví dụ 2
Tính
, với D là tam giác OAB
, trong đó
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Cách 1
( nhìn theo phương đứng )
1
1
thì lúc này
nên ta tách D thành
, và
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Hay ta có
Cách 2
( nhìn theo phương ngang )
1
1
Lúc này, ta có
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Phương pháp đổi biến
a/ Tọa độ cực

là tọa độ cực của M
, với
Ví dụ
Từ phương trình
ta tìm ngược lại miền D
Do
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Như vậy,
Ví dụ
Tính
Lưu ý
Ta áp dụng công thức này khi D có dạng hình tròn
, hay
một phần hình tròn
, với
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này, ta có
Dùng PP đổi biến:
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Ví dụ 2
Tính
, với
1
2
Lúc này, miền D tương đương với
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Ví dụ 3
Tính
, với
Lúc này, ta có miền D
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
a/ Tọa độ cực mở rộng
Đổi biến
, từ đó
Sau đó, ta tính định thức của ma trận Jacobi
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Trường hợp 1:
D là hình tròn lệch tâm
Đổi biến
Lưu ý
Khi lấy cận của
và
ta coi như gốc tọa độ ở
Ví dụ
Tính
, với
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Ta có
Đặt
, với
Ví dụ 2
Tính
, với
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Ta có
Đặt
, và
Lưu ý
PP này được áp dụng thích hợp tùy theo bài
( bằng cách vẽ hình để nhận dạng miền D )
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Trường hợp 2:
D là hình ellipse
Đổi biến
Lưu ý
Trong tọa độ cực, thường người ta chọn
Ví dụ
Tính
, với
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Ta đặt
và lúc này
Ví dụ 2
Ta dùng lại ví dụ 1, nhưng với miền
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này, góc
được x/ định
do ta nắn ellipse thành hình tròn  cho cạnh dài x = cạnh ngắn y
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP
a/ Tính diện tích miền phẳng
Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng bị giới hạn bởi
Dùng pp tọa độ cực, ta có
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP
b/ Thể tích vật thể
, với điều kiện
liên tục trên D
Hay cụ thể hơn
Xét vật thể
+ có hình chiếu vuông góc xuống
bằng
+ mặt trên là
+ mặt dưới là
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này
Ví dụ
Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi
+ mặt trên
+ mặt dưới
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Ví dụ 2
Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP
Ta có
( đây là dạng của D)
+ mặt dưới
+ mặt trên
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP
Đặt
Ví dụ 3
Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Ví dụ 4
Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP
Ta có
Ví dụ 5
Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này ta có
Ví dụ 6
Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi
trên
dưới
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Định nghĩa
: SGK
Cách tính
: đưa về 3 tích phân xác định lần lượt theo từng biến
( cận của các tích phân và thứ tự tính chúng
là do miền lấy tích phân xác định )
a/ Trường hợp miền
là hình hộp chữ nhật
Với a,b,c,d,m,n
là các hằng số
Khi đó
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Ví dụ
Tính
, với
Ta có
b/ Trường hợp miền
là miền xác định bởi
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Trong đó
là các hằng số
là hàm số theo biến x
Lúc này,
( càng phụ thuộc nhiều thì càng tính trước )
( nhưng nếu ngang cấp thì xét biến nào trước cũng được )
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Ví dụ
Tính
, với
Ví dụ 2
Tính
, với
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Suy ra
b/ Trường hợp miền
là miền xác định bởi các mặt cong
, và
là hình chiếu của
xuống mp
Lúc này
Ví dụ
Tính
, với
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Trước hết, ta xác định giao tuyến của 2 mặt cong
Vậy giao tuyến của 2 mặt cong là đường tròn
Suy ra
: hình chiếu của
lên mp
là hình tròn
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Đổi sang tọa độ cực
Ví dụ 2
Tính
, với
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Vì
bị giới hạn bởi
, nên hình chiếu của
lên mp
là hình tròn
Suy ra
Đổi sang tọa độ cực
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BiẾN
Xét tích phân
Đặt
Khi đó
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Ví dụ
Tính
, với
Đặt
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
a/ Tọa độ trụ
( khi miền có dạng trụ tròn hay trụ ellipse )


Lúc này, tọa độ trụ của M là
bằng cách đặt
Sau đó, ta xét tiếp
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Nếu
suy ra từ hình chiếu
thì
Lưu ý
Nếu hình trụ tròn chạy dọc theo
đặt
Ví dụ
Tính
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Với
Ta đặt
Mặt khác, do
nên
và cận chạy của z là
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Ví dụ 2
Tính
, với
Ta có
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
b/ Tọa độ cầu


là góc giữa
và chiều
dương
là góc giữa
và chiều dương
và nếu lệch tâm thì
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Lúc này
Và miền
viết lại thành
Ví dụ
, với
TOÁN A2
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
TÍCH PHÂN BỘI BA
Đặt
với