Toán đại cương

CÁC BÀI TẬP
I. QUAN HỆ CHIA HẾT:
1. BÀI 1:
Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.
Giải
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1
Lấy a chia cho 2 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 2.
+ Với r = 0 thì a = 2.q (2
+ Với r = 1 thì a + 1 = 2.q + 1 + 1 = 2.q + 2 = 2( q + 1) ( 2
Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.
2. BÀI 2:
Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
Giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2
Lấy a chia cho 3 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 3.
+ Với r = 0 thì a = 3.q ( 3
+ Với r = 1 thì a = 3.q + 1 . Khi đó : a + 2 = 3.q + 3 (3
+ Với r = 2 thì a = 3.q + 2 . Khi đó a + 1 = 3.q + 3 (3
Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
3. BÀI 3:
Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.
Giải
Gọi n số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2 …a( n-1)
Lấy a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0 ≤ r < n.
+ Với r = 0 thì a = n.q ( n
+ Với r = 1 thì a = n.q + 1 ( n . Khi đó : a+ (n-1) = n.q + 1 + (n-1) = n.q + n ( n
+ Với r = 2 thì a = n.q + 2 ( n. Khi đó a + (n-2) = n.q + 2 + (n+-2) = n.q + n ( n
+ Với r = n-1 thì a = n.q + n - 1 (n . Khi đó a + 1 = n.q + n-1 +1= n.q + n ( n
Vậy trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.

*Một số phương pháp chứng minh chia hết

4. BÀI 4
Tính chất 8:
CMR tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Giải
Giả sử ta gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a + 2
Theo đề bài : A = a( a +1) ( a + 2) ( 6
Ta có : 6 = 3x2 mà ( 3, 2) =1
- A ( 2 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 2
- A ( 3 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 3
Vậy A ( 6
5. BÀI 5
CMR tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải
Giả sử hai số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 2k , 2k + 2.
Theo đề bài chứng minh, B = 2k.( 2k + 2) ( 8 hay B = 4k ( k + 1)
Ta có 4 ( 4 và k+1 ( 2 vì trong B có một số chia hết cho 2
Vậy B ( 8
6. BÀI 6
VD : CMR: 11 a + a ( 6 ( a ( N

Giải
Ta có: 11 a + a = 12 a - a + a
= 12 a - ( a - a)
= 12 a - a( a - 1)
= 12 a - a ( a- 1) ( a+ 1)
12 a ( 6
A = a ( a -1 ) ( a + 1)
Nếu a = 0 ( A = a( a-1)(a+1) = 0 ( 6
Nếu a > 0 ( A = a (a-1)( a+1)