TOÁN CAO CẤP (hẰNG)

Nhóm 4
KÍNH CHÀO CÔGIÁO VÀ CÁC BẠN!
Bộ môn:Toán cao cấp
Đề tài: PHƯƠNG PHÁP BIẾN THIÊN HẰNG SỐ TRONG GPT VI PHÂN VÀ SAI PHÂN


GVHD:Trịnh Thị Hường
Nhóm thực hiện:Nhóm 4
LHP:1209MATH0211

NỘI DUNG
A.PP biến thiên hằng số trong giải GPTvi phân
I.Các khái niệm
1) PT vi phân là: Pt liên hệ giữa biến độc lập (hay các biến độc lập),hàm chưa biết và các đạo hàm của hàm số đó.
2)Cấp của PT vi phân là cấp cao nhất của đao hàm của hàm số, có mặt trong phương trình ấy. Dạng tổng quát của một phương trình vi phân cấp n với biến độc lập x, biến phụ thuộc y là: F(x;y;y’;y’’;…;)=0 (không được khuyết )
3)Nghiệm của PT vi phân
Cho PT vi phân cấp n. Một hàm số, khả vi đến cấp n mà khi thay vào phương tình đó cho ta đồng nhất thức đều gọi là nghiệm của PT vi phân đó.

1)PT vi phân cấp 1:Dạng TQ: F (x,y,y’) = 0
II.Phương pháp biến thiên hằng số để giải
y’ + p(x)y = q(x) (1)
y’ + p(x)y = 0
a)PT tuyến tính cấp 1
b)PTthuần nhất tương ứng
Các bước giải
Bước 1:Tìm nghiệm tổng quát của PTTN

y’ + p(x)y = 0
Bước 2:Coi C là hàm của x, nghĩa là C=C(x)
Khi đó

Nghiệm TQ của (1)là:


Ví dụ: giải phương trình: y’+y=4x (1)
pt thuần nhất:y’+y=0 
Ta coi


So sánh PP biến thiên hằng số với các pp khác
Vd: Gpt (1)
Cách 1:dùng biến thiên hằng số
PTTN: y’ – 2y = 0 (2)
nghiệm TQ là: (C tùy ý) (3)
Coi C = C(x), ta có :
Thay y, y’ vào (1)
(D tùy ý)
Nghiệm của (1)
Cách 2: đặt y = uv  y’ = u’v + uv’
PT (1)
Thực hiện biến đổi nghiệm TQ:







Cách 3: Tìm nghiệm riêng của (1) ở dạng
=
Trong đó A, B là các hằng số chưa biết.
Ta có:
+
Thay vào PT (1) nghiệm TQ của (1) là:
(C tùy ý)
Nhận xét : Cách thứ 3, dùng phương pháp biến thiên hằng số là không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2.Và ở bước 2 khi thế vào pt để tìm hàm v(x) luôn luôn khử được những gì liên quan
đến v(x), chỉ còn lại v’(x).






2)PT vi phân cấp 2
a)Vế phải không phụ thuộc vào y
Dạng PT: y’’=f(x,y’)
Cách giải:
Đặt y’ = p, y’’= p’ p’= f(x,p)
Đây là phương trình vi phân cấp 1 đối với hàm p

PTTN

NTQ
y=-1/2x^2-x+De^x+E

==>







VD: Giải Pt
Có y=0 là 1 nghiệm
Với y#0 đặt y’=p(y)




nghiệm của pt






==>
b)Vế phải không chứa x

==>
( D tùy ý)
I.Các khái niệm
1)Sai phân
Giả sử y(t) là một hàm trên lưới I ; t
I Khi đó

y(t) =y(t+h)-y(t)
gọi là sai phân cấp một của hàm y tại điểm t
2)Phương trình sai phân
Gsử y(n) là một hàm đối số nguyên, chưa biết. cần tìm
F(n,
=0(*)(không được khuyết
Đẳng thức trên được gọi là một phương trình sai phân cấp k
B.Phương pháp biến thiên hằng số trong giải phương trình sai phân


3)Nghiệm của pt sai phân
GPT được y= là nghiệm TQ
Cho C1=Co,C2=Cođược nghiệm riêng
II.PP biến thiên hằng số để giải
1)PTSPTT cấp 1
a)Hệ số hằng

Ay(n + 1) +by(n) = f(n) (a.b ≠ 0; f(n) ≠ 0)
Ay(n + 1)+by(n) =0(*) (a,b là hằng số ≠ 0)
PTthuần nhất
PT tuyến tính
Các bước giải
Tìm nghiệm tổng quát PTTN
ay(n+1)+by(n)=0 (1)
..........................................

Tìm nghiệm riêng PTTN
Coi C=C(n) khi đó y(n)=C(n)
y(n+1)=C(n+1)
Thay vào (1) và rút gọn
y(n)=
VD:GPT (1)
PTTN
= 0 (2)
PTĐT
Nghiệm TQ (2) là (4)
Ta coi C = C(n),
Thay vào (1)
Cho n=0;1;2..n-1

y(n)
+ D)
= (

b)Hệ số biến thiên:

a(n).y(n+1) + b(n).y(n) = f(n) (1)
f(n) ≠ 0
a(n).y(n+1) + b(n).y(n) = 0 (2)

PTTN tương ứng
Dạng PT
Cách giải










Xét y(n+1) = a(n).y(n) + f(n) (1)
PTTN: y(n+1) = a(n).y(n) + f(n) (2)
Vd:GPT y(n+1) = (n+1).y +(n+1)!
(1)

Xét y(n+1) =(n+1).y(n) (2)
Thay n=0;1;…;n-1 vào(2)
y(n) = n!.y(0) = n!.C (*)
C(n+1) – C(n) = 1 (3)
(C=Cn thay vào (1) )
Thay n =0;1;…;n-1vào (3)
C(n)-C(0) = n lấy C(0) = £
C(n) = n+ £
y(n) = n!(n+ £)
 
Vậy y(n)=n!(n+£)
CẢM ƠN CÔ GIÁO VÀ CÁC BẠN ĐÃ LẮNG NGHE!