Toán a3 pởe point

GIỚI THIỆU MÔN HỌC


NỘI DUNG

LỊCH SỬ TOÁN HỌC
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A 3
Giảng viên : Th.S ĐỖ HOÀI VŨ
YÊU CẦU MÔN HỌC
1. Đi học đủ số tiết quy định ( >2/3)
2. Mỗi nhóm thực hiện tiểu luận gồm 10 sv .
3. Chấm điểm tiểu luận theo hình thức : Gọi ngẫu nhiên mỗi nhóm 4 sv trình bày chấm điểm trực tiếp . Điểm các sv còn lại trong nhóm sẽ bằng điểm trung bình của 4 sv viên vừa gọi .
4. Thi giữa kỳ và cuối kỳ theo hình thức trắc nghiệm khách quan .Điểm tb môn được tính theo quy định
5. Sv phải chuẩn bị giáo trình đầy đủ . Tài liệu tham khảo để làm tiểu luận gồm các cuốn sách sau :
Toán cao cấp , tâp 3 , tác giả : Nguyễn Đình Trí .
MÔN HỌC
Đ
THI LẠI
K
XÉT VỚT
THI KẾT THÚC MÔN
LÀM TIỂU LUẬN (1)
THI GM
K
Đ
THI LẠI
ĐẠT
LÀM TIỂU LUẬN (2)
Đ
K1
K2
Đ
K
Đ
K
Đ
CHƯƠNG I
CHƯƠNG II
CHƯƠNG III
CHƯƠNG IV
I. Các khái niệm mở đầu hàm nhiều biến
1. Tập hợp trong Rn
2. Định nghĩa Hàm nhiều biến
3. Giới hạn - Liên tục
II. Đạo hàm vi phân
1. Đạo hàm riêng - Đạo hàm hợp - Đạo hàm ẩn
2 .Vi phân toàn phần
3. Đạo hàm vi phân cấp cao
4. Công thức Taylor
III. Cực trị hàm nhiều biến
CHƯƠNG I
CHƯƠNG II
CHƯƠNG III
CHƯƠNG IV
I. TÍCH PHÂN KÉP
1. Định nghĩa
2. Phương pháp tính
3. Ứng dụng cơ học và hình học

II. TÍCH PHÂN KÉP BỘI 3

1. Định nghĩa
2. Phương pháp tính
3. Trọng tâm vật thể

CHƯƠNG I
CHƯƠNG II
CHƯƠNG III
CHƯƠNG IV
I . TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I
Định nghĩa –Cách tính -Trọng tâm cung
II. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II
Định nghĩa- Cách tính - Công thức Green
III. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
Định nghĩa –Cách tính - Trọng tâm mặt
IV. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
Định nghĩa –Cách tính - Công thức Stoke-Ostrogradsky
CHƯƠNG I
CHƯƠNG II
CHƯƠNG III
CHƯƠNG IV
I . PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Đại cương về ptvp cấp 1– Các phương trình cơ bản
II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
Đại cương về ptvp cấp 2– Các phương trình cơ bản
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Đại cương – Cách giải
Hệ phương trình vi phân thuần nhất hệ số hằng
2. HÀM NHIỀU BIẾN
2.1 Định nghĩa
2.2 Cách cho một hàm nhiều biến
3.1. Giới hạn hàm nhiều biến
3.2. Sự liên tục của hàm nhiều biến

2.3. Một số mặt bậc hai cơ bản
1. TẬP HỢP TRONG Rn
3 .GIỚI HẠN- LIÊN TỤC .
1. Đạo Hàm
1.1 Ñaïo haøm rieâng:
1.2 Đa�o hàm hỗn hợp
2.1. Vi phaân caáp 1
2.2. Vi phaân caáp n

1.3. Ñaïo haøm aån
II. ĐẠO HÀM –VI PHÂN
2 . Vi Phaân:
1. Ñònh nghóa:
II. CÖÏC TRÒ
2 . Cöïc trò töï do
3 . Cöïc trò coù ñieàu kieän
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
1.Tập hợp trong Rn
1.1. Khoảng cách giữa hai điểm
Xét hai điểm M( x1, x2 , …, xn ), N ( y1, y2 , …, yn ) trong
không gian Rn . Khoảng cách giữa M và N cho bởi công
thức:
Tính chất : Ba điểm A , B , C
tùy ý trong Rn ta có :
Ví dụ
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.Tập hợp trong Rn
1.2. Lân cận
Tập hợp B (M0 , r) = gọi là hình
cầu mở tâm M0 bán kính r . Lân cận của M0 là tất cả
các tập hợp chứa một B(M0 , ) nào đó .
Ví dụ
Chú ý :
Trong R hình dạng của B(x0, r) là khoảng (x0-r,x0 + r)
Trong R2 hình dạng của B(x0, r) là miền tròn
không lấy những điểm nằm trên biên
Trong R3 hình dạng của B(x0, r) là quả cầu
không lấy những điểm nằm trên biên (mặt cầu)

x0
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Ví dụ
1.3. Điểm trong - Tập Mở .
Điểm M0 gọi là điểm trong của tập A nếu :
. Tập hợp tất cả các điểm trong gọi là miền trong của tập A và kí hiệu là int A . Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong
1.4. Điểm biên - Tập đóng
Điểm M0 gọi là điểm biên của tập A nếu với mọi lân cận của M0 đều chứa những điểm thuộc A và những điểm không thuộc A trừ M0 . Tập hợp tất cả các điểm biên gọi là biên của tập A và kí hiệu là .Tập A gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó .
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Ví dụ
1.5. Điểm Tụ - Điểm cô lập
Đểm M0 gọi là điểm tụ của tập A nếu :

. Ngược lại ta nói điểm M0 là điểm cô lập của A
Chú ý :
Điểm tụ có thể là điểm trong hoặc điểm biên
Tập đóng chứa được mọi điểm tụ của nó
1.6. Tâp bị chặn
Tập E được gọi là một tập bị chặn
nếu nó nằm trong một quả cầu nào đó
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN :
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Ví dụ
1.8. -Tập liên thông : Tập A gọi là một tập liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳ M , N bằng một đường liên tục nằm trong A ..Tập A gọi là đơn liên nếu nó được bao bởi một đường kín trong R2 ( hoặc một mặt kín trong R3 ) . Ngược lại nếu nó được bao bởi nhiều đường , mặt khác nhau đôi một thì ta nói A là đa liên .
Tập Liên Thông –Đơn Liên
1.7. Tâp Compact
Tập A được gọi là tập Compact nếu nó đóng và bị chặn
II. HÀM NHIỀU BIẾN
Định nghĩa
Xét không gian Euclide n chiều Rn . Một phần tử M Rn
là một bộ gồm n thành phần .Hàm số n biến thực trên
D Rn là một ánh xạ từ D vào R . Khi đó ta thường viết
z = f(x1, x2 , … , xn) hay z = f(M) .
Chú ý
D gọi là miền xác định của hàm số .
Miền giá trị của hàm f là tập hợp các giá trị của z khi M chạy khắp miền D .
Trong giáo trình chỉ xét các hàm hai hoặc ba biến .
II. HÀM NHIỀU BIẾN
2. Cách cho một hàm nhiều biến
Người ta có thể biểu diễn hàm nhiều biến bằng một hay
nhiều biểu thức . Trong trường hợp này ta có thể hiểu D là
tập các điểm M sao cho biểu thức của f có nghĩa .
Ví dụ
Trong các bài toán ứng dụng ta còn có thể dùng bảng để biểu diễn hàm nhiều biến
Ví dụ
CÁC VÍ DỤ-MXĐ
Ví dụ 1
Tìm miền xác định của z= f(x,y)=
GIẢI
Ví dụ 2 :
BÀI GIẢI
D = R2
Ví dụ 2:
z xác định khi x.lny ? 0


?
Ví dụ 3 :
1
o
x
y
CÁC VÍ DỤ-MXĐ
Ví dụ 1
Tìm miền xác định, miền giá trị của z= f(x,y) cho bằng bảng
GIẢI
(x,y)
(1,2) (3,4) ( 5,6) (7,9) ( 12,14)
f(x,y)
5 6 9 2 1
MXĐ: D={(1,2), (3,4),( 5,6), (7,9),( 12,14)}
MGT : f(D)={ 5,6,9,2,1}
Định nghĩa 1 (ngôn ngữ )
Cho hàm f(M) xác định trên D . Xét M0 là điểm tụ của
D . Số a được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M tiến dần
về M0 nếu :
Giới hạn hàm nhiều biến
II. HÀM NHIỀU BIẾN
a. Ñònh Nghóa
Định nghĩa 2 (ngôn ngữ dãy )
Cho hàm f(M) xác định trên D . Xét M0 là điểm tụ của
D . Số a được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M tiến dần
về M0 nếu với mọi dãy điểm Mn : Mn Rn , Mn M0 ,
Khi đó ta viết :
II. HÀM NHIỀU BIẾN
Chuù yù :
i) Giôùi haïn laëp : neáu xeùt thöù töï laáy cuûa giôùi haïn thì
toång quaùt ta coù :

ii) Neáu coù giôùi haïn thì giôùi haïn ñoù khoâng phuï thuoäc
vaøo höôùng tieán cuûa ñieåm M(x,y) ñeán ñieåm M0(x0,y0).
3i) z(x,y) coù giôùi haïn taïi (x0,y0) thì giôùi haïn naøy laø
duy nhaát vaø coù :


b. Tính chất gi?i h?n h�m nhi?u bi?n
II. HÀM NHIỀU BIẾN




:4i) Khaùi nieäm giôùi haïn voâ haïn cuøng vôùi caùc ñònh lyù
veà giôùi haïn cuûa toång, hieäu, tích, thöông cuûa haøm moät
bieán cuõng ñuùng vôùi haøm hai bieán .
c) Các ví dụ










II. HÀM NHIỀU BIẾN
CÁC VÍ DỤ - GIỚI HẠN
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( giới hạn )
Định nghĩa 1
Haøm z = f(M) lieân tuïc taïi ñieåm M0  Rn
3. Sự liên tục của hàm nhiều biến
II. HÀM NHIỀU BIẾN
a. Ñònh Nghóa
Định nghĩa 2 Haøm z = f(M) lieân tuïc treân mieàn D  Rn khi noù lieân tuïc M  D
b.Các tính chất của hàm liên tục (SGK)
MỘT SỐ MẶT BẬC HAI
Mặt cầu , Mặt trụ , Mặt elipxôit , Mặt nón
Mặt hyperboloit 1 tầng,2 tầng , Mặt yên ngựa
Mặt parabololit eliptic
Định nghĩa : Trong không gian với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz , mặt bậc hai là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn một phương trình đại số bậc hai đối với x, y, z :
Ax2+2Bxy +2Cxz + Dy2 +2Eyz+ Fz2 + Gx+2Hy+2Kz+ L = 0
Với A, B, C, D, E, F, G, H, K, L là các số thực , A, B, C, D, E, F không đồng thời bằng không . Trong tính toán chúng ta thường gặp các mặt sau
Mặt Cầu
Phương trình tổng quát :
Phương trình tham số :
Mặt Elipxôit
z
o
x
y
Phương trình tổng quát :
Chú ý :
Nếu dùng các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ cắt hình Elipxôit tùy theo các hệ số a, b, c ta sẽ được giao tuyến là Elíp hoặc đường tròn
Mặt Trụ
Trụ Eliptic
Trụ parabolic
y2=2px

z
o
x
y
Mặt yên ngựa
(parabolit hyperbolic)
Phương trình
Chú ý :
Nếu dùng các mặt phẳng
song song với các mặt tọa
độ cắt hình ta sẽ được giao
tuyến là parabol hoặc hyperbol
Mặt hyperboloit một tầng
Phương trình
Chú ý :
Nếu dùng các mặt phẳng
song song với các mặt tọa
độ cắt hình ta sẽ được giao
tuyến là parabol hoặc hyperbol
Mặt parabolit eliptic
Phương trình
Chú ý :
Nếu dùng các mặt phẳng
song song với các mặt tọa
độ cắt hình ta sẽ được giao
tuyến là parabol hoặc elip
Mặt hyperboloit hai tầng
Phương trình
Chú ý :
Nếu dùng các mặt phẳng
song song với các mặt tọa
độ cắt hình ta sẽ được giao
tuyến là hyperbol hoặc elip
Mặt nón eliptic
Phương trình
Chú ý :
Nếu dùng các mặt phẳng
song song với các mặt tọa
độ cắt hình ta sẽ được giao
tuyến là hyperbol hoặc elip

CHƯƠNG I I: ĐẠO HÀM RIÊNG –VI PHÂN NHIỀU BIẾN
ĐẠO HÀM RIÊNG
1. Đạo hàm riêng cấp 1( hàm hai biến z=f(x,y))
Đạo hàm theo biến x :
Kí hiệu :
Kí hiệu :
Đạo hàm theo biến y :
c. Ví dụ :
z =x2y3 +x4 => z’x = 2xy3 + 4 x3 , z’y = 3x2 y2
ĐẠO HÀM RIÊNG
2. Đạo hàm riêng cấp cao ( hàm hai biến z=f(x,y))
Đạo hàm hỗn hợp :
Định lý (Schwarz) :
Giả sử f(x,y) cùng với các đạo hàm riêng fx’ ,fy’ , fxy’’ , fyx’’ xác định trên một lân cận (x0 , y0) và liên tục tại (x0 , y0) thì :
b. Tương tự ta có thể lấy đạo hàm cấp n theo biến x,
cấp m theo biến y kí hiệu là :
CÁC VÍ DỤ - GIỚI HẠN
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tìm đạo hàm riêng )

CHƯƠNG I I: ĐẠO HÀM RIÊNG –VI PHÂN NHIỀU BIẾN
VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1. Vi phân cấp 1( hàm hai biến z=f(x,y))
Định nghĩa:
(x0,y0) ? D, cho các số gia ?x, ?y sao cho
(x0 + ?x, y0 + ?y) ? D. Ta nói hàm z = f(x,y) khả vi tại (x0,y0) nếu số gia toàn phần:
?f = f(x0 + ?x, y0 + ?y) - f(x0,y0) có thể biểu diễn được ở dạng: ?f = A.?x + B.?y +
Trong đó : Trong ñoù A,B laø hai soá thöïc,
là vô cùng bé bậc cao hơn
nghĩa là:

CHƯƠNG I I: ĐẠO HÀM RIÊNG –VI PHÂN NHIỀU BIẾN
VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
2. Vi phân cấp n ( hàm hai biến z=f(x,y))
Vi phân cấp 2 :





Vi phân cấp n :


CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tìm vi phân )


Ví dụ : z = x4 + y4 - 4x2 y2 . Tính d2z ?
d2z = ( 12x2 - 8y2 )dx2 - 32xydxdy + (12y2 - 8x2)dy2










1. Ñònh nghóa:
Xét z = f(x,y) có M0(x0,y0) là cực đại địa phương
nếu và chỉ nếu : M0 ? ?M(x,y) ? lân cận nào đó
của M0: f(M) ? f(M0)
Tương tự ta định nghĩa cho cực tiểu là f(M) ? f(M0).

Tại điểm (0,0) không phải là cực trị

Ba�i toán: Tìm cực trị của hàm z=f(x,y)
Phương pháp :

Gi?i : , Tính:

Tính:

Nếu :? > 0, A > 0 => đạt cực tiểu tại M0 (x0,y0)
? > 0, A < 0 => đạt cực đại tại M0 (x0,y0).
? < 0 => M0 không là cực trị,
Nếu :? = 0 dùng định nghĩa để xét cực trị

2 . Cöïc trò töï do
Ví dụ
CÁC VÍ DỤ-CỰC TRỊ
Ví dụ 1 Tìm cöïc trò cuûa haøm z = x3 + y3 – 3xy

 Tìm taäp caùc ñieåm döøng :
z’x = 3x2 – 3y = 0
z’y = 3y2 – 3x = 0
Giaûi heä naøy ta coù 2 ñieåm döøng laø M1(1,1) vaø M2(0,0)
Ta coù : A= 6x , B = -3 , C = 6y
Taïi M1 ta coù  = AC – B2 = 36 – 9 > 0, A = 6 > 0
neân M1 laø ñieåm cöïc tieåu,
Taïi M2 ta coù  = -9 < 0, neân M2 khoâng laø ñieåm cöïc trò

CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tìm cực trị )









Tìm các điểm cực trị của các hàm sau

a/ z = 2xy - 3x2 - 2y2 + 10
b/ z = x3y2 (6-x-y) , x > 0 , y > 0
c/ z = 2x4 +y4-x2-2y2

d/ z

e/ z = x + y - exy
f/ z = ( x + y - 94 ) ( 4x + 3y ) - 6xy
g/ z = x2y2
2 . C?c tr? cĩ di?u ki?n
Bài toán : Ta cần tìm cực trị của hàm z = z(x,y) th?a điều kiện mặt ?(x,y) = 0 .
Trong đó f(x,y), ? (x,y) có các đạo hàm riêng liên tục, ?`x (x0,y0) ? 0, ?`y (x0,y0) ? 0.

Phương pháp : (Nhân tử Lagrănge)
+ Đặt hàm L(x,y,?) = f(x,y) + ? ? (x,y)
+ Tìm điểm dừng (x0,y0)





+ Ta x�t d?u :

Chú ý:
Nếu : d2L(x0,y0) > 0 thì (x0,y0) là điểm cực tiểu.
d2L(x0,y0) < 0 thì (x0,y0) là điểm cực đại .

VÍ DỤ ( TÌM CỰC TRỊCÓ ĐK)









Ví dụ 1 : Tìm cực trị hàm z = xy Thỏa
?(x,y) = (x-1)2 + y2 - 1 = 0
+ Đặt : L = f + ? .? = xy + ? [(x-1)2 + y2 - 1 ]
+






CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( tìm cực trị có ĐK)









Tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau

a/ z = xy với x + y = 1

c/ z = xy với ( x - 1 )2 + y2 - 1 = 0

e/ z=f(x,y)=2x+y, với x2 + y2 = 5.

f/ z=f(x,y)=x+y, với x y = 1.
C�C KH�I NI?M CO B?N 1.Bài toán mở đầu :
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
V
x
y
f(xi,yi)
2. Định nghĩa : (sgk)
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
4. Nhận xét :
Vì tích ph�n k�p khơng ph? thu?c v�o c�ch chia mi?n D th�nh c�c mi?n nh? n�n ta cĩ th? thay dS=dxdy

f(x,y) = 1 ?(x,y) ? D thì diện tích miền D :

f(x,y) > 0, liên tục ?(x,y) ? D thì thể tích hình trụ có các đường sinh song song với Oz, hai đáy giới hạn bởi z= 0, z= f(x,y) l�
3. K� hi?u :
D là miền đóng và bị chặn
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
5. Tính chất của tích phân kép :
Tính chất 1 :N?u f liên tục trong D thì f khả tích trên D
Tính chất 2 : Tích phân kép có tính tuyến tính





Tính chất 3 : Nếu D = D1 ? D2 và D1 ? D2 = ? thì

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
5. Tính chất của tích phân kép :

Tính chất 4 : N?u f(x,y) g(x,y) ?(x,y) ? D thì



Tính chất 5 :
N?u

Thì



CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
5. Tính chất của tích phân kép :

Tính chất 6 : N?u f(x,y) li�n t?c tr�n m?t mi?n dĩng v� b? ch?n D thì trong D cĩ ít nh?t m?t (xo,yo ) sao cho



II. CÁC PHƯƠNG P PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
II.1 Trong hệ trục Descartes.
Miền D là hình chữ nhật :
D = ?(x,y) : a ? x ? b, c ? y ? d ?
= [a,b]? [c,d]

x
y
a
b
d
c
Ví dụ : D = ?0,1???1,2? tính :
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaân keùp )









Tính các tích phân sau:



D là hình vuông: ,

b) D là hình chữ nhật, [1,4]x[1,e]
N
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
Miền D gi?i han b?i : a ? x ? b, y1(x)? y? y2(x)?
D = [a,b]? [ y1(x), y2(x)]
x
a
b
y2(x)
y1(x)
Miền D gi?i han b?i: c ? y ? d, x1(y)? x? x2(y)?
D = [ x1(y), x2(y)] ?[c,d]
d
c
x1(y)
x2(y)
x
y
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaân keùp )









Tính các tích phân sau:

D giới hạn bởi


b)

D giới hạn bởi các đường y = x2, x = y2 �
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
II.2 Phương pháp đổi biến :
Xét vì laáy tích phaân treân mieàn Dquaù
phöùc taïp neân ta bieán veà mieàn D ñôn giaûn nhö caùc hình chöõ nhaät chaúng haïn,.
Đặt :
thỏa
1. u(x,y) , v(x,y) cùng các đạo hàm riêng liên tục trên miền D
2 . Phép đặt là một song ánh D D’
3 .
Chú ý :
J có thể bằng không tại một số điểm trong D’
Ví dụ 1 :
Miền D` là hình tam giác O(0,0), A(2,0), B(0,2), được biến hình qua phép biến đổi phi tuyến
G: (x,y)=G(u,v)=(u+v, u2-v).
Tính tích phân của hàm:
trên miền biến hình D=G(D`).
Đặt :
Đặt :
Chú ý :
Nếu D có dạng :
o
x
y
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaân keùp )









Tính các tích phân sau:

D giới hạn bởi y2 = x, y = x, y2 = 3x, y= 2x


D giới hạn bởi các đường y2 = px, y2 = qx,
x2 = ay, x2 = by với 0 < p D giới hạn bởi: x + y = 1 ,
x - y = 1, x + y = 3, x - y = -1
D giới hạn bởi : xy = 1, xy = 2, y = x,
y = 3x (x > 0, y > 0 )
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
II.3 Tích phân trong hệ tọa độ cực :
Đặt :
r1
Chú ý :
Phép đổi biến này dùng khi D có dạng cung tròn hoặc Elip
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaân keùp )









Tính các tích phân sau:

a) D giới hạn : x2 + y2 = a2, x2 + y2 =4a2


D giới hạn bởi : x2 + ( y - 1)2 = 1, và
x2 +y2 - 4y = 0
D= (x,y) / x2 + y2 - x - y 0
D elip

a)
b)
c)
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
III . ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN KÉP
1. Diện tích miền D
2. Thể tích hình trụ V
3. Di�n tích m?t cong
4. Kh?i lu?ng, Momen tinh của tấm phẳng
5. tọa độ trọng tâm của hình phẳng đồng nhất
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
1. Diện tích miền D
D
a) x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, y = x, y = 0
Tính diện tích phẳng giới hạn bởi các đường :
b) (x - 2y + 3 )2 + ( 3x + 4y -1 )2 = 100
c) x = 4y – y2 , x + y = 6
d) x2 + y2  2x , x2 + y2 2 y
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
a)
b)
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
a) x = 0 , y = 0 , z = 0 ,
Tính th? tích phẳng giới hạn bởi các m?t :
b) x2 + y2 = 2 , z = 4 - x2 - y2 , z = 0
c) z = x2 + y2 , z = x + y.
d) y = 1 + x2 , z = 3x , y = 5 , z = 0 naèm trong phaàn taùm thöù nhaát.
2. Thể tích hình trụ V
z=f(x,y)
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
a)
b)
c)
d)
C�C KH�I NI?M CO B?N
Định Nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) x�c d?nh trong miền dĩng b? ch?n V. Chia mi?n V th�nh n mi?n dĩng r?i nhau cĩ th? tích l� ?V1 , ?V2 ,., ?Vn. v� c�c du?ng kính tuong ?ng l� d1,d2,.dn . L?y Mi thu?c Vi. N?u gi?i h?n


khơng ph? thu?c v�o c�ch chia mi?n V v� c�ch ch?n di?m Mi thì g?i dĩ l� tích ph�n b?i 3
CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BỘI 3
2. Kí hi?u :
CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BỘI 3
3. Tính ch?t : (Tuong t? nhu tích ph�n b?i 2)

II. CÁC PHƯƠNG P PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Miền V = [x0,x1]? [y0, y1] ? [z0,z1]

Miền V = [x0,x1]? [y0(x), y1(x)] ? [z0 (x,y),z1(x,y)]

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BỘI 3
Cơng th?c t?ng qu�t

. Dxy là hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy
. Dyz là hình chiếu của V lên mặt phẳng Oyz
. Dxz là hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxz
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaân keùp )

Tính các tích phân sau:



V là miền xác định bởi x ? 0, y ? 0, z ? 0, x + y +z ?1
a)
) V laø mieàn xaùc ñònh bôûi 2x + 3y –12 = 0, x = 0, z = y,
z =
b)
III. Phương pháp đổi biến :
Xét I= vì laáy tích phaân treân mieàn V quaù phöùc taïp neân ta bieán veà mieàn V ñôn giaûn nhö caùc hình hôp chöõ nhaät chaúng haïn.
Đặt :
thỏa
1. x(u,v,w) ,y(u,v,w) ,z(u,v,w)) cùng các đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng V’
2 . Phép đặt là một song ánh V V’
3 .
Khi đó :
Đặt :
1 . V làHình hộp xiên
Khi đó

V
V’
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaânbội 3)

Tính các tích phân sau:

V là miền xác định bởi
a)
V là miền xác định bởi: x+y+z =? 2, -x+2y+3z =? 3,
2x+3y-3z =? 4.
b)
Đặt :
2 Toïa Ñoä Truï
Khi đó

V’
V
Z
Chú ý : Dùng khi miền D có dạng tròn hoặc elip
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaânbội 3)

Tính các tích phân sau:

V là miền xác định bởi
x2+y2=2z, z=2.
a)
Giải
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaânbội 3)


V là miền xác định bởi:
x2 + y2 = 2x, y ? 0, z = 0, z = a > 0
b)
z
o
y
a
x
Đặt :
2 Toïa Ñoä Cầuï
Khi đó
Chú ý : Dùng khi miền V có dạng hình cầu
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaânbội 3)

V là miền xác định bởi

Giải
a)
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI (tích phaânbội 3)

V là miền xác định bởi

Giải
b)
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI 2 (KÉP)
III . ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BƠI BA
1. Thể tích V
2. Kh?i lu?ng, của v?t th? V
3. Tọa độ trọng tâm của v?t th? V
CHƯƠNG 3 : TÍCH PHÂN BỘI 3
Tính th? tích phẳng giới hạn bởi các m?t :
1. Thể tích V
z = x2 + y2, z = 0, x = 0, y = 0, x + y = 4

z = x2 + y2, z = 0, x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x

c) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 1 ( phần trong hình trụ )
CHƯƠNG 3 : TÍCH PHÂN BỘI 3
4
4
X+y=4
4
4
a)
CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
------?????------
1.1 Bài toán mở đầu :
Xuất phát từ việc đi tìm khối lượng (hay mật độ của một đại lượng vật lý nào đó ) trên cung AB khi biết khối lượng riêng của cung người ta đưa ra khái niệm tích phân đường loại 1. Ngoài ra để tính diện tích mặt cong có đường sinh // Oz, đường cong không gian ở trên là z=f(x,y), đường giới hạn dưới là đường cong phẳng F(x,y)=0.
1. 2 Định nghĩa :
Xét cung AB và hàm z=f(x,y) chia cung AB thành n phần ?Si, lấy trên mỗi ?Si một điểm Mi� lập tổng In = ,

Nếu khi : n ? ? sao cho Max[?Si ] ? 0, tổng có giới hạn hữu hạn thì ta nói f khả tích trên cung AB và gọi giới hạn đó là tích phân đường loại 1 trên cung AB.

Kí hiệu :

Khi f(x,y) là hàm khối lượng riêng của đường cong thì tích phân đường loại 1 là bài toán tính khối lượng của đường cong phẳng .
Nhận xét :
1) Nếu L là kín ta viết .

2) Từ định nghĩa trên, ta không phân biệt hướng

nên


3) Tính chất của tích phân đường loai 1 thực chất giống như tích phân xác định đã học, nên hầu hết các tính chất của tích phân xác định được áp dụng cho tích phân đường loại 1 .
1.3 Phương pháp tính :
Do nhận xét trên nên muốn tính tích phân đường loại 1 ta đưa nó về tích phân xác định bằng cách tham số hóa đường cong L :
a) x = x(t), y = y(t), t1 ? t ? t2, xA = x( t1 ), xB = x( t2 )


Mở rộng cho 3 chiều :


b) y = y(x), a ? x ? b, xA = a, xB = b.

Ví dụ 1 : tính với C là chu vi tam giác ABC
y
1 B

o A x

1

do tính chất của tích phân đường ta có :

riêng trên AB ta có phương trình : y = - x + 1


=

Ví dụ 2 :


cung parabol y = nối từ điểm

O(0,0) đến B(2,2).

y
2 B

O 2 x
1.4 Ứng dụng:
a/ Độ dài cung
Chiều dài cung

b/ Trọng tâm, khối lượng của cung đường AB
Khối lượng riêng của cung AB tại M(x,y,z) là ?(M) thì các tọa độ trọng tâm là :




m là khối lượng của cung AB trong không gian 3 chiều .
Ví duï 1 : tìm khoái löôïng M cuûa cung giôùi haïn bôûi :

L = vôùi 0  t  1,

bieát khoái löôïng rieâng c(x,y,z) =

=




nhôù laïi coâng thöùc:

vaø keát quaû cuoái cuøng daønh cho baïn ñoïc tính chi tieát .
Ví duï 2 : Tính chu vi ñöôøng troøn coù baùn kính R
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI
2.1 Tích Phân Đường Loại 2 :
Nếu tích phân đường loại 1 xuất phát từ bài toán tính khối lượng của đường cong thì tích phân đường loại 2 lại xuất phát từ bài toán rất cơ học đó là : cần tính

công của một lực phẳng :

di chuyển trên đường cong phẳng L:

B
Ai+1

Ai
A

công trên vi phân cung ( , ) là :


và
,
2.2 Định nghĩa :
Khi nếu giới

hạn trên tồn tại hữu hạn thì giá trị giới

hạn đó gọi là tích phân đường loại 2 của

hàm vectơ trên cung L .

Lúc đó ta nói hàm vectơ khả tích trong

cung L và kí hiệu giới hạn này là :

Nhận xét :
a/ Vì công có thể là âm hay dương nên tích phân đường loại 2 xác

định chiều âm, dương điều này khác cơ bản với tích phân đường loại 1,

nên ta có : điều này hiển nhiên vì

tích vô hướng:

b/ Nếu L là vòng kín thì quy ước

chiều dương là chiều mà người đi dọc

theo chiều ấy sẽ thấy miền trong

(hữu hạn ) bên tay trái. Và lúc đó kí hiệu

c) Trong không gian ta mở rộng cho hàm vectơ có 3 thành phần

P(x,y,z), Q(x,y,z), và R(x,y,z) tương ứng với 3 trục toạ độ :



d) Tính chất của tích phân xác định hầu hết áp dụng được cho tích phân

đường loại 2
2.3 Phương pháp tính :
Ý chủ đạo của cách tính tích phân đường loại 2 là tham số hóa đường cong :
a/ x = x(t), y = y(t), tA ? t ? tB thì


b/ y = y(x), xA = a, xB = b

Ví dụ 1 : tính với L là đường

cong nối A(0,0) với B(1,1) , qua đường
cong L như sau :
a) y = x2


b) y = x3
Ví dụ 2: tính là cung theo phương trình

y2 = x, A(1,-1) và B(1,1)
Cách 1 : x = y2 ? dx = 2ydy


Cách 2 : ta dùng tính chất cộng



ta có

? Sinh viên có kiểm chứng

Ví dụ 3 : tính , C là nửa Ellip

, phần nửa mặt phẳng trên, chạy theo
chiều âm ( chiều kim đồng hồ )



Ơ� đây nhớ lại công thức Walliss:

ta có

với Walliss = ?
Walliss
Nhận xét :
Giá trị của tích phân đường loại 2 tổng quát sẽ khác nhau trên những đường cong khác nhau . Vậy một câu hỏi được đặt ra là : với tính chất hàm P(x,y) và Q(x,y) ra sao thì tích phân đường loại 2 sẽ độc lập với đường cong, mà nó chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối . Một lần nữa câu hỏi này nghe ra rất " cơ học " mà ta đã biết ở sơ cấp rằng công cơ học của hệ bảo toàn đi từ A đến B thì độc lập với đường đi, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối mà thôi ! Hệ quả của định lý Green sau đây sẽ giải quyết câu hỏi này .
2.4 Định lý Green :
a/ Định lý:
Nếu P(x,y) và Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trong D ( kể cả biên ) với L = ? D thì
. Chiều vế trái là chiều

duơng đã biết .

Nhận xét : có một điều triết lý của định lý là: "nhìn mặt của vật thể đoán được tâm hồn bên trong của vật thể ", như là : nhìn chu vi biết diện tích, nhìn mặt ngoài biết thể tích .
Ví dụ 4: xét lại ví dụ 2 ở trên, tính là

cung theo phương trình y2 = x, A(1,-1) và B(1,1),

nếu nối đường thẳng từ A đến B, áp dụng định lý

Green ta có : , ta cần tìm ,
y
ta có ngay vì x = 1 ? dx = 0, 1 B
o 1 x
-1 A
và do chọn chiều âm nên ta có
=

vậy
Ví dụ 5 : xét lại ví dụ 3, tính , C là nửa Ellip

, phần dương trên, chạy theo chiều âm, (chiều kim

đồng hồ ) ta dùng công thức Green : y

ta cần tìm , b C

-a a x
với P = y2 và do chọn chiều âm ta có Q = x2
B O A

, dùng phép biến đổi giả lập tọa độ cực và

nửa Ellip trên biến thành nửa vòng tròn trên ? J = rab, r = 1




còn (do y = 0 ? dy = 0)

vậy
Từ định lý Green, ta suy ra hệ quả quan trọng sau :
b/ Hệ quả:
P và Q có đạo hàm riêng liên tục trong D D thì các điều sau là tương đương
i/ Q`x =P`y ?(x,y) D
ii/ với mọi đường cong L kín trong D.

iii/ không phụ thuộc vào đường đi nối từ A đến B

( không kín ) mà chỉ phu thuộc vào điểm đầu và điểm cuối.
iv/ Tồn tại hàm thế vị u(x,y) để vi phân toàn phần

du = Pdx+Qdy= .

Nếu trường lực thì có : .
Hàm u(x,y) được tính bằng cách lấy tích phân đường lọai 2 trên cung xuất phát từ O(0,0) đến điểm M(x,y) như sau:

Ví dụ 6: Tính I =
a/ Với C là cung AB có phương trình y=x, A(1,1), B(2,2), từ đó suy ra kết quả với mọi cung hở AB không chứa gốc tọa độ trên cung và có phương trình bất kỳ .

b/ Với C là đường cong kín, không chứa gốc tọa độ ở bên trong miền hữu hạn và có phương trình bất kỳ .

c/ Với C là đường cong kín, chứa gốc tọa độ ở bên trong miền hữu hạn và có phương trình bất kỳ .

d/ Tìm hàm thế vị u(x,y), kiểm chứng kết quả câu a/ bằng u(B)- u(A)=ln2.
a/ Ta có : I =

ta có .

Theo hệ quả, tích phân chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối, và luôn có giá trị là ln2.
y
y y
C C1 C1 C2

A B x
o x O x o


H1 H2 H3

b/ Do , neân theo heä quaû, tích phaân luoân trieät tieâu ñoái vôùi moïi ñöôøng cong kín khoâng chöùa goác O beân trong mieàn (nhö hình H1).
c/ Nếu đường cong C1 bao quanh gốc O như hình H2, thì ta biến thành hình H3, bằng cách ta khoét một lỗ tròn đủ nhỏ bán kính R như vòng tròn C2, và một nhát cắt AB đủ nhỏ, lúc đó tích phân trên đuờng cong kín C = C1? ? C2 ? , theo chiều dương như hình vẽ H3 là triệt tiêu (vì không chứa gốc O như câu b). Chú ý tích phân lấy theo 2 đường trái chiều của nhát cắt trên và sẽ có cùng giá trị và dấu trái nhau.
(cùng chi?u kim d?ng h? )

= Tham số hóa :vế phải lúc này là :

Vậy tích phân sau cùng bằng 2?.
d/ Tìm hàm thế vị u(x,y) =

(kiểm chứng!), khi đó :



-
Ví dụ 7: Tính I = với C là chu

vi tam giác ABC






Cho biết A(1,2), B(3,1), C(2,5) theo chiều dương.
Cách 1: (theo đường loại 2) I =

*

*

*



Cách 2 : theo công thức Green
x
x
x
x
x
x
x
l0
m