Toán 9

 
(www.MATHVN.com) - Kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia diễn ra từ 9-13/1/2013. Dưới đây là Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia 2013 môn Toán. Đề thi gồm 7 câu và được thi trong 2 buổi. Đáp án môn Toán sẽ được chúng tôi cập nhật sau ngay tại bài viết này.



Đề thi ngày thứ nhất

NGÀY THI THỨ NHẤT (11/01/2013)
Bài 1. (5,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+++y(1)+++y(2)
Bài 2. (5,0 điểm) Cho dãy số xác định như sau:
⎧⎩⎨+1==13−an+n≥1
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 3. (5,0 điểm) Cho tam giác không cân ABC. Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và D,E,F là các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB. Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) tại K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) tại L khác F. Gọi J là trung điểm KL. a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi sao cho tỷ số ABAC=k không đổi. Gọi M,N tương ứng là các giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F). MN cắt IB,IC tại P,Q. Chứng minh đường trung trực PQ luôn qua 1 điểm cố định. Bài 4. (5,0 điểm) Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau: a) Các số cho trước là: 1 và 1000? b) Các số cho trước là: 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải.
NGÀY THI THỨ HAI (12/01/2013)
Bài 5. (7,0 điểm) Tìm tất cả hàm số f:R→R thỏa f(0)=0;f(1)=2013 và
(x−yf((xf((yf(x)−f(y(x)−(y
đúng với mọi x,y∈R, trong đó (x)=(f(x))2 Bài 6. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và D thuộc cung BC không chứ điểm A. Đường thẳng △ thay đổi đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác ABH,ACH tại M,N (M,N khác H) a)Xác định vị trí của đường thẳng △ để diện tích tam giác AMN lớn nhất b)Kí hiệu là đường thẳng qua M vuông góc DB,là đường thẳng qua góc DC. Chứng minh giao điểm P của và luôn thuộc 1 đường tròn cố định Bài 7. (6,0 điểm)  Tìm tất cả bộ sắp thứ tự (a,b,c,a′,b′,cthỏa
⎧⎩⎨⎪⎪ab+a′b′≡1(mod 15) (1)ac+a′c′≡1(mod 15) (2)bc+b′c′≡1(mod 15) (3)
Với a,b,c,a′,b′,c0,1,...,14}