Toan 9

TÌM CÁC CHỮ SỐ
Tiếp theo TTT2 số 15, chúng tôi xin được tiếp tục trao đổi với bạn đọc về các bài toán tìm hai chữ số tận cùng ; tìm ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên.
* Tìm hai chữ số tận cùng
Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau :
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am
2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1
25.
Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq
4 ta có :
x = am = aq(a p.n - 1) + aq.
Vì an - 1
25 => ap.n - 1
25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(ap.n - 1)
100.
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq.
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1
100.
Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : x = am = av(au.n - 1) + av.
Vì an - 1
100 => au.n - 1
100.
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av.
Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av.
Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av.
Bài toán 7 :
Tìm hai chữ số tận cùng của các số : a)   a2003     b)  799
Lời giải :
a) Do 22003 là số chẵn, theo TH 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1
25.
Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025
25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1)
25
=> 23(220 - 1)
100. Mặt khác : 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N). Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08.
b)   Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1
100.
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1
100. Mặt khác : 99 - 1
4 => 99 = 4k + 1 (k Є N)
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07.
Bài toán 8 :
Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25.
Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1
100.
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1
50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1)
100.
Mặt khác : 516 - 1
4 => 5(516 - 1)
20 => 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43. Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18.
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp.
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của 2 chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng.
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì