Toán 7 -HSG

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7.
(Thời gian làm bài 120’).
Câu 1: Tính :
a) A =
.
b) B= 1+

Câu 2:
a) So sánh:
và
.
b) Chứng minh rằng:

.
Câu 3: Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3.
Câu 4: Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 900 . Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 900 ), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng:
a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK.
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A =


Đáp án toán 7:
Câu 1: a) Ta có:
;
;
; …;

Vậy A = 1+

b) A = 1+
=
= 1+

=
= 115.
Câu 2: a) Ta có:
;
nên
hay

Còn
< 10 .Do đó:

b)

;
; …..;
.
Vậy:

Câu 3: Gọi a,b,của là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm . Vì mỗi chữ số a,b,của không vượt quá 9 và ba chữ số a,b,của không thể đồng thời bằng 0 , vì khi đó ta không được số có ba chữ số nên: 1 ( a+b+c ( 27
Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên a+b+c =9 hoặc a+b+c = 18 hoặc a+b+c=17
Theo giả thiết, ta có:
Do đó: ( a+b+c) chia hết cho 6
Nên : a+b+c =18 (
( a=3; b=6 ; của =9
Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn.
Vậy các số phải tìm là: 396; 936.
Câu 4:


a) Vẽ AH ( BC; ( H (BC) của (ABC
+ hai tam giác vuông AHB và BID có:
BD= AB (gt)
Góc A1= góc B1( cùng phụ với góc B2)
( (AHB= (BID ( cạnh huyền, góc nhọn)
(AH( BI (1) và DI= BH
+ Xét hai tam giác vuông AHC và CKE có: Góc A2= góc C1( cùng phụ với góc C2)
AC=CE(gt)
( (AHC= (CKB ( cạnh huyền, góc nhọn)
(AH= CK (2)
từ (1) và (2) ( BI= CK và EK = HC.
b) Ta có: DI=BH ( Chứng minh trên)
tương tự: EK = HC
Từ đó BC= BH +Hc= DI + EK.
Câu 5: Ta có:
A =
=


Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là 2000 khi x-2001 và 1-x cùng dấu, tức là :
1 ( x ( 2001

biểu điểm :
Câu 1: 2 điểm . a. 1 điểm b. 1 điểm
Câu 2: 2 điểm : a. 1 điểm b . 1 điểm .
Câu 3 : 1,5 điểm
Câu 4: 3 điểm : a. 2 điểm ; b. 1 điểm .
Câu 5 : 1,5 điểm .