Toan 12

ĐỀ TÀI:
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
SVTH : Vũ Thị Kim Dung
Lớp : 05TT
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
PHẦN MỞ ĐẦU
- Do nhu cầu phát triển của toán học để giải những phương trình đại số mà số phức đã xuất hiện.
Số phức có ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực: Toán học, Vật lí, Khoa học, Kĩ thuật,…
- Trong Toán học : Số phức có ứng dụng rất nhiều trong đại số, giải tích, lượng giác và hình học phẳng.
- Số phức mới chỉ được giới thiệu một phần nhỏ trong chương trình giải tích 12. Đối với học sinh, số phức còn rất mới và trừu tượng, chưa thực sự trở thành công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải toán
- Vì vậy, tôi đã chọn đề tài luận văn tốt nghiệp: “Ứng dụng số phức vào giải toán”
NỘI DUNG
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO ĐẠI SỐ,
GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC.
CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ,
GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC
I. Tính các tích phân
II. Tính các biểu thức tổ hợp
III. Tính các biểu thức lượng giác
PHẦN I
I. Tính các tích phân
1.Dạng 1: Tính
Phương pháp:
B1).Biểu thức
với
B2).Đạo hàm 2 vế
B3).Đồng nhất 2 vế , suy ra
( Sử dụng 2 số phức bằng nhau )
2.1. Phương pháp
B1) Biểu thức
với
B2) Đạo hàm 2 vế
B3) Đồng nhất hai vế, suy ra
(Sử dụng hai số phức bằng nhau)
Dạng 2. Tính
Ví dụ : Tính
Giải:
Đặt
Ta có:
Lấy đạo hàm ta được:
Do đó suy ra

Vậy
Đồng nhất 2 vế ta được
II. Tính các biểu thức tổ hợp

B3).Sử dụng 2 số phức bằng nhau, rút ra kết quả
B1).Khai triển nhị thức Newton:
với
Đặc biệt:
Phương pháp
III. Tính các biểu thức lượng giác
B1). Khai triển theo công thức Moivre:
(1)
B2). Khai triển theo nhị thức NewTon:
(2)
B3). Sử dụng đồng nhất phần thực và phần ảo ở 2 vế của (1)
(2) ta suy ra kết quả
1.1. Phương pháp
Phương pháp:
B1).Biểu diễn biểu thức dưới dạng tổng của 1 cấp số nhân có n số hạng
B4).Sử dụng 2 số phức bằng nhau, suy ra kết quả
2. Tính tổng các biểu thức lượng giác
Giải:
Ta có:
Đặt
Vậy :
Vậy ta suy ra :
Áp dụng chứng minh trên ta suy ra các kết quả:
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN
HÌNH HỌC PHẲNG
BÀI TOÁN CHỨNG MINH
B. BÀI TẬP TÍNH TOÁN
C. BÀI TOÁN DỰNG HÌNH VÀ TÌM QUỸ TÍCH
(CHỨNG MINH THẲNG HÀNG,TAM GIÁC ĐỀU, HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG)
PHẦN II
CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÌNH HỌC PHẲNG
BẰNG SỐ PHỨC
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MỘT SỐ KHÁI NIỆM
HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG SỐ PHỨC
1.2 Tọa vị của vectơ trong mặt phẳng.
1.1 Tọa vị của một điểm trong mặt phẳng.
1.3. Khoảng cách giữa hai điểm
1.4. Tích vô hướng của hai véc tơ
2. Đường thẳng trong mặt phẳng
2.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
2.2. Véc tơ pháp tuyến, véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Trong mặt phẳng phương trình tổng quát của đường thẳng dưới dạng phức có dạng:
2.3. Phương trình đường thẳng với hệ số góc
(3)
3. Phương trình đường tròn
A. BÀI TOÁN CHỨNG MINH
I. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
Phương pháp: Để chứng minh 3 điểm A ,B, C thẳng hàng:
B1). Xác định tọa vị 3 điểm A,B,C
B2). Sử dụng 1 trong các điều kiện của định lý sau để chứng tỏ A, B, C thẳng hàng
2. Chứng minh hai tam giác đồng dạng
với
Phương pháp:
B2) Sử dụng điều kiện định lý sau để chứng minh
3. Chứng minh tam giác đều
B2). Sử dụng định lý sau để chứng minh
B. BÀI TOÁN TÍNH TOÁN
( Tính diện tích và tỷ số diện tích hai tam giác)
Công thức tính diện tích tam giác:
C. BÀI TOÁN DỰNG HÌNH VÀ TÌM QUỸ TÍCH
1. Bài toán dựng hình:
Phương pháp:
B1).Biểu diễn các điểm của bài toán qua các tọa vị xác định
B2).Tìm mối liên hệ giữa tọa vị của điểm cần dựng với tọa vị của các điểm cho trước.
B3).Trên mặt phẳng phức, dựa vào tọa vị biểu diễn các điểm cần dựng
2. Bài toán tìm quỹ tích
B1). Biểu diễn các điểm cố định bằng các tọa vị xác định
tương ứng
B2). Biểu diễn tọa vị của điểm cần tìm quỹ tích qua các tọa vị của những điểm cố định. Từ đó xác định quỹ tích.
Phương pháp:
Giải:
Gọi Q, P lần lượt là trung điểm BD AC. Suy ra Q, P cố định.
Gọi A(a), B(b), C(c), D(d),
M(m), N(n), P(p), Q(q), J(j).
J là trung điểm MN
P, Q lần lượt là trung điểm AC và BD nên
Vậy:
(1)
(2)
Từ (1) (2) suy ra:
thẳng hàng và J nằm trên đoạn PQ
Vậy tập hợp J là đoạn thẳng PQ
PHẦN KẾT LUẬN
I. Kết quả chính của luận văn
- Nêu được một số ứng dụng của số phức vào đại số, giải tích, lượng giác và hình học phẳng
- Dùng số phức giải được các bài toán và đề ra được phương pháp giải cho mỗi dạng
II. Hướng phát triển của luận văn
Luận văn có thể tiếp tục mở rộng nghiên cứu thêm:
- Ứng dụng số phức vào các phép biến hình
- Ứng dụng số phức vào giải các bài toán hình học không gian
Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô
và các bạn đã lắng nghe !