Toán hình 9 độc nhất vô nhị

Bài toán hình độc nhất vô nhị lớp 9 ( cực khó )
Đề bài : tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O:R) và AB < AC có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H . EF cắt BC tại I , OA cắt BC tại M . Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D . Đường tròn tâm S ngoại tiếp tam giác AIM cắt (O) tại điểm thứ 2 là N , DI cắt (S) tại G . Trong đường tròn S , từng cặp tiếp tuyến tại I và G , tại A và N lần lượt cắt nhau tại P và Q . Chứng minh : PQ vuông góc với DS
Bài giải
Hình vẽ ( các bạn chịu khó tự vẽ hình )
Ta cần có 4 bổ đề phụ :
Bổ đề 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp ( O:R) AB< AC cò 2 đường cao BD và CE . Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại M . Chứng minh : AM đi qua trung điểm của DE
Chứng minh : Qua M kẻ đường thẳng // DE cắt AB tại P và cắt AC tại Q . Kẻ tia tiếp truyến Ax tại A của (O) ( góc xAB là góc nhọn ) , BM cắt Ax tại T
Dễ thấy tứ giác BEDC nội tiếp từ đó dể thấy được OA _|_DE do đó PQ _|_DE hay PQ//Ax . Do đó góc MPB = góc PAx= góc ACB = góc ABT = góc MBP nên BM = PM , tương tự CM= QM mà BM=CM nên MP=MQ , AM cắt DE tại S . Áp dụng định lý ta lét trong tam giác APQ ta cm được S là trung điểm của DE
Bổ dề 2 : Tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp ( O:R )ABChứng minh : Vẽ đường kính AK , AM cắt (O) tại S
Dễ thấy được hệ thức ME.MD=MB.MC=MS.MA nên tứ giác ASDE nội tiếp có AEHD nội tiếp nên AS_|_HS mà AS_|_KS nên 3 điểm A,H,K thẳng hàng , dễ thấy từ giác BHCK là hình bình hành nên 3 điểm H,I,K thẳng hàng , do đó 3 điểm S,H,I thẳng hàng . Lúc này H là trực tâm tam giác AMI => MH_|_AI
Bổ đề 3 : Từ 1 điểm A ngoài ( O:R) , vẽ 2 cát tuyến ABC và ADE đến (O) ABChứng minh : OK cắt BC tại T và OH cắt DE tại I
Dể thấy tứ giác ATIO nội tiếp nên góc OTI= góc OAI . Dễ thầy OB2=OT.OK=R2=OD2=OI.OH nên 2 tam giácOIH VÀ OKH đồng dạng=> góc OTI= góc OHK = > góc OHK= góc OAI = > OA _|_HK
Bổ đề 4 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O:R) có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H , I và J lần lượt là trung điểm của BC và DE , AJ cắt (O) tại M , AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại N . Chứng minh : M và N đối xứng nhau qua BC
Lời giải : K là trung điểm của AH
Dễ thấy tứ giác BEDC nội tiếp nên góc ABC= góc ADE nên tam giác ABC~ tam giác ADE , từ đó dễ cm tam giác AIC~ tam giác AJE nên góc BAJ = góc CAI
Dễ CM được DK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE ( để ý rằng tứ giác AEHD nội tiếp nên tâm của nó là trung điểm AH ) nên DI2=IN.IA mà DI = CI nên CI2= IN.IA nên góc ICN= góc CAI . dễ thấy góc MCB= góc BAJ= góc CAI = góc ICN nên ICN = góc MCB . Tương tự góc MBC= góc NBC nên M và N đối xứng nhau qua BC
Quay trở lại với bài toán lớn
Gọi K là trung điểm của BC. Dựng đường tròn đường kính IK cắt (O) lần lượt tại 2 điểm S và T2 ( S thuộc cung nhỏ AB của O) AK cắt đường tròn đường kính IK tại J
Theo như bổ đề 2 , ta có IH _|_AK mà IJ_|_KJ nên 3 điểm I,H,J thẳng hàng . Theo như trên thì J thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE .Gọi V là trung điểm của EF , AV cắt (O) tại L . Theo như bổ đề 4 thì J và L đối xứng nhau qua BC , mà IJ_|_KJ nên IL _|_ KL