TỌA ĐỘ AFIN VÀ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN

§ 2: TỌA ĐỘ AFIN VÀ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN
I. Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng
1. Mục tiêu afin trong mặt phẳng
1.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng, chọn một điểm O và hai vectơ không cộng tuyến
và
. Khi đó bộ ba
được gọi là một mục tiêu afin, hay còn gọi là hệ tọa độ afin. (h.11)
Cặp thứ tự hai vectơ
gọi là cơ sở vectơ của hệ tọa độ .
Ta kí hiệu mục tiêu đó là Oxy, với Ox, Oy là các đường thẳng đi qua O có VTCP lần lượt là
và
(h.12).
O là gốc tọa độ, Ox và Oy là các trục tọa độ.
Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
y




x
O
O

Hình 11 Hình 12
1.2 Tọa độ của vectơ
Xét mặt phẳng với mục tiêu afin

Một vectơ
𝑢 bất kì của mặt phẳng được phân tích theo hai vectơ cơ sở
và
, tức là có duy nhất cặp số (x;y) sao cho:

Khi đó cặp số
được gọi là tọa độ của vec tơ
đối với mục tiêu đã cho và viết: :
hoặc :

Ta có


Dễ thấy:
- Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi tọa độ của chúng bằng nhau
- Nếu :
,
và
thì :
và

- Nếu :
và
là các vectơ khác
và cộng tuyến thì các tọa độ của chúng tỉ lệ:
hay một cách tương đương

1.3 Tọa độ của điểm
Trên mặt phẳng cho hệ tọa độ afin Oxy, với mọi điểm M bất kì của mặt phẳng, tọa độ của vectơ
được gọi là tọa độ của điểm M đối với mục tiêu đã cho và viết: M = (x;y) hoặc M(x:y)
Liên hệ giữa tọa dộ của vectơ và tọa độ của điểm
Nếu M=(x;y) và N=
thì

2. Đổi tọa độ afin
Cho 2 hệ tọa độ afin
và
.
Giả sử điểm M có tọa độ (x;y) đối với mục tiêu
, có tọa độ
đối với mục tiêu
. Tìm sự liên hệ giữa (x;y) và
.
Giả sử đối với mục tiêu
điểm O’ và các vectơ
có toạ độ:


Nghĩa là:

Theo giả thiết :
;
.
Ta có: ;




Mặt khác:

Suy ra:
tức
(*)
Các hệ số a, b, c, d trong công thức (*) được viết thành một bảng như sau:


Khi đó A được gọi là ma trận của phép đổi mục tiêu (*)
Giá trị (ad – bc) được gọi là định thức của ma trận Avà kí hiệu là detA hay
:
detA = det

Công thức (*) gọi là công thức đổi hệ tọa độ (hay công thức đổi mục tiêu afin)
Nếu detA > 0 thì hai hệ tọa độ đã cho (O
𝑖 ;
𝑗) và (O’
𝑖 ;
𝑗được gọi là cùng hướng
Nếu detA < 0 thì hai hệ tọa độ đó gọi là ngược hướng. Do đó:
Tập hợp các hệ tọa độ afin trong mặt phẳng được chia làm hai lớp tương đương. Hai hệ tọa độ thuộc cùng lớp khi và chỉ khi chúng cùng hướng (suy ra chúng thuộc hai lớp khác nhau khi và chỉ khi chúng ngược hướng). Ta quy ước gọi các hệ tọa độ thuộc một lớp này là hệ tọa độ thuận(hay hệ có hướng thuận), còn các hệ tọa độ thuộc lớp kia là hệ tọa độ nghịch(hay hệ có hướng nghịch). Khi đó mặt phẳng được gọi là mặt định hướng. Ta thường lấy làm hệ tọa độ thuận (h.13) và hệ tọa độ nghịch (h.14) tương ứng cùng hướng với một hệ trong hình dưới đây:
Hệ tọa độ thuận Hệ tọa độ nghịch









Phép tịnh tiến hệ tọa độ
Đổi hệ tọa độ afin
thành
, tức
gọi là phép tịnh tiến trong hệ tọa độ vectơ
Ta có:


Nên biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là


Ma trận của phép biến đổi hệ tọa độ đó là:

3. Tâm tỉ cự
3.1. Định nghĩa
Cho hệ n điểm
và cho n số
mà
. Điểm M được gọi là tâm tỉ cự của n điểm
với n số tương ứng
( i = 1, 2,…, n) nếu:



Trong trường hợp
thì điểm M như thế được gọi là trọng tâm của hệ điểm
. Khi đó ta có :


Trọng tâm của hệ