Tính lồi lõm của đồ thị

CHÀO MỪNG QUÍ THẦY CÔ VỀ DỰ GIỜ THAO GIẢNG LỚP 12C10
GIÁO VIÊN: PHAN MINH TRÍ
Kiểm tra bài cũ:
Áp dụng dấu hiệu II, tìm các điểm cực trị hàm số sau:
Giải
x=0 là điểm cực đại của hàm số
x=2 là điểm cực tiểu của hàm số
Đặt vấn đề
Hãy quan sát hai đồ thị đồng biến trên khoảng (a;b) dưới đây và so sánh điểm giống và khác nhau giữa chúng?
* Giống nhau: Do cả hai là hàm đồng biến nên đồ thị đi lên từ trái sang phải
* Khác nhau: Đồ thị hình 1 có vẻ “lõm xuống”, đồ thị hình 2 có vẻ “lồi lên”
Tính đơn điệu chưa đủ để vẽ khá chính xác đồ thị hàm số, cần phải có tính “lồi, lõm” hổ trợ
Xét đồ thị ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình vẽ. Giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho đều có tiếp tuyến.
Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn luôn ở phía trên.
Ta nói cung AC là một cung lồi. Khoảng (a ;c) được gọi là khoảng lồi.
Tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn luôn ở phía dưới .
Ta nói cung CB là một cung lõm . Khoảng (c;b) được gọi là khoảng lõm .
Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm của đồ thị được gọi là điểm uốn. C là một điểm uốn của đồ thị hàm số
§4. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
1. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
§4. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
Khi M di chuyển trên cung AC có nhận xét gì về vị trí của tiếp tuyến tại M so với cung AC ? Câu hỏi tương tự cho cung CB ?
Nhận xét tiếp tuyến tại điểm uốn?
Chứng minh: giả sử f’’(x)đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua xo.
Với x < xo và x đủ gần xo ta có f ’’(x) < 0, do đó theo định lý 1, đồ thị hàm số lồi bên trái điểm Mo(xo;f(xo))
Với x > xo và x đủ gần xo ta có f ’’(x) > 0, do đó theo định lý 1, đồ thị hàm số lõm bên phải điểm Mo(xo;f(xo))
Định lý 1:Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b).
Nếu f ’’(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó
Nếu f ’’(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó
Định lý 2:Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm tới cấp hai trong khoảng lân cận nào đó của điểm xo.
Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua xo thì điểm Mo(xo;f(xo)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho
Hãy dự đoán một dấu hiệu để xét tính lồi lõm của đồ thị trên một khoảng?
§4. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
2.Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
Khi x di chuyển trên các khoảng (a ;c) ;(c ;d); (d;e);(e;b). Hãy nhận xét dấu của f’’(x)?.
Trên khoảng f ’’(x) < 0, f ’’(x) > 0 có nhận xét gì về tính lồi lõm của đồ thị hàm số trên khoảng đó ?
Khi x di chuyển trong lân cận của điểm xo. Nhận xét dấu của f ’’(x) khi đi qua điểm xo ?
Dự đoán một dấu hiệu để nhận biết điểm uốn?
§4. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
Từ các định lý trên hãy nêu các qui tắc để tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của một đồ thị hàm số?
- Tìm tập xác định.
- Tính y’.
- Tính y’’.
- Lập bảng xét dấu y’’. Kết luận
Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a; b).
- Nếu f ”(x) < 0, với mọi x thuộc khoảng (a; b) thì đồ thị của hàm số ……trên khoảng đó
- Nếu f ”(x) …., với mọi x thuộc khoảng (a; b) thì đồ thị của hàm số …… trên khoảng đó
Nêu cách tìm các khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) ?.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó.
Nếu đạo hàm cấp hai …………….. khi x đi qua x0 thì điểm M0(x0; f(x0)) là …………….của đồ thị hàm số đã cho.
Củng cố
Cho hàm số:
Có đồ thị (c). Các khẳng định nào sau đây là sai:
a. (c) lõm trên (0;+∞) vaø (-∞;0)
b. (c) lõm trên
c. (c) lõm trên
d. (c) có điểm uốn O(0;0)
CÁM ƠN QUÝ THẦY CÔ ĐÃ LẮNG NGHE.
CHÚC QUÝ THẦY CÔ SỨC KHỎE, HẠNH PHÚC.
CHÚC CÁC EM HỌC SINH HỌC TẬP TIẾN BỘ.