Tìm hiểu số phức(trường đóng đại số)

Số phức
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Trường số phức là mở rộng của trường số thực thành một trường đóng đại số sao cho mọi đa thức bậc n có đúng n nghiệm. Phương trình đại số đơn giản nhất không có nghiệm trên trường số thực là phương trình x2+1 = 0 hay x2 = -1. Để phương trình này có nghiệm, phải công nhận sự tồn tại của một "số" mới, số ảo là số có bình phương bằng số âm một!
Lịch sử
Nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của − 1.
Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát "a + bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu "i" để chỉ căn bậc hai của − 1, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này
Định nghĩa
Trong toán học, trường số phức, ký hiệu là
. Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương pháp tiên đề. Gọi
là trường số thực. Ký hiệu
là tập hợp các cặp (a,b) với
. Trong
, định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
thì
là một trường (xem cấu trúc đại số). Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực
vào
bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp
. Khi đó
... Nhờ phép nhúng, ta đồng nhất tập các số thực
với tập con các số phức dạng (a,0), khi đó tập các số thực
là tập con của tập các số phức
và
được xem là một mở rộng của
. Kí hiệu i là cặp (0,1)
. Ta có i2 =(0,1) * (0,1) = ( − 1,0) = − 1. Số phức i được gọi là đơn vị ảo, tất cả các số phức dạng a * i được gọi là các số ảo (thuần ảo).
Một số khái niệm quan trọng trong trường số phức
Dạng đại số của số phức
Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo i đặc trưng bởi biểu thức i2=−1 . Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:
z = a + b.i.
trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.
Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý rằng i2 = –1. Như vậy, ta có:
(a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i
(a + b.i)(c + d.i) = (a.c - b.d) + (b.c + a.d).i
Mặt phẳng phức




Trong hệ toạ độ Đề các, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số thực z = x + yi. Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức.
Số thực và số thuần ảo
Bài chi tiết: số thực
Nếu b=0, số phức có dạng z = a được gọi là số thực, nếu a =0, số phức b.i được gọi là thuần ảo.
Số phức liên hợp
Bài chi tiết: Số phức liên hợp
Cho số phức dưới dạng đại số
, số phức
được gọi là số phức liên hợp của z.
Một số tính chất của số phức liên hợp:

là một số thực.

=


=

Phép chia hai số phức dưới dạng đại số:


Mođun và Argumen
Bài chi tiết: Mođun và Argumen
Cho
. Khi đó
. Căn bậc hai của
được gọi là mođun của z, ký hiệu là | z | . Như vậy
.
Xem thêm: giá trị tuyệt đối
Có thể biểu diễn số phức z = a + b * i trên mặt phẳng tọa độ bằng điểm M(a,b), góc
giữa chiều dương của