Tìm cực trị

A MỞ ĐẦU
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này .Để giải các bài toán cực trị đại số , tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số người làm toán phải sử dụng các phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số , phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức từ các dạng đơn giản đến các dạng phức tạp .Bởi thế , có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp 2 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số.
Các bài toán cực trị đại số ở chương trình toán cấp 2 có sự liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất dẳng thức , các bài toán giải phương trình và hệ phương trình , các kiên thức về tập hợp về hàm số và đồ thị hàm số.
Về mặt tư tưởng bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , luôn mong muốn những công việc đạt hiệu quả cao nhất , tốt nhất .
Tóm lại các bài toán cực trị trong đại ở chưong trình toán cấp 2 là các bài toán tổng hợp các kiến thứcvà kỹ năng tính toán rèn khả năng tư duy cho học sinh , nó có một vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi .Bồi dưõng HS thi vào các trường chuyên , thi vào cấp 3.
B NỘI DUNG:
I. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đưa về dạng Ax
0 hoặc Ax
0
a, Cơ sở lý luận
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất .
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất .
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax
0 thì GTNN của Ax = 0


Nếu M = Ax / Ax
0 thì GT LN của Ax = 0
b, Các ví dụ .
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Ax = 2x2 – 8x +1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải : Ta có Ax = 2x2 – 8x +1 = 2( x- 2 )2 – 7 Ta có với mọi x thì
(x- 2 )2
0 Nên ta có 2( x- 2 )2 – 7
-7 .
Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx = - 5x2 – 4x + 1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + 1 = -5 ( x +
)2 +

Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +
)2
0 . Vậy Mx

(dấu = xảy ra khi x = -
. Ta có GTLN của Mx =
với x = -
.
II . Phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng
hoặc

Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ax =
Vói x là các số thực dương .
Lời giải: Ta có Ax =
=
với mọi x >0 thì


. Vậy GTNN của Ax =
với x= 4.
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx=
với x thuộc tập hợp số thực.
Lời giải:Ta có Mx=
= 3 +
. Vì


nên ta có

Mx = 3 +

3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1
Ví dụ 5:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Fx,y =
với x, y là các số thực.
Lời giải:Ta có Fx,y =
=
vì y4 +1
0 với mọi giá trị của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta được : Fx,y =
vì x2
0 với mọi x nên x2 + 2
2 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y =



Vậy Fx,y dật GTLN =
với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý.
III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dương a,b, c ta có:
a + b
đạt được