Tiểu luận

A. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA VỀ LÝ THUYẾT VÀNH VÀ TRƯỜNG .
Định nghĩa .
Vành là một tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi trên X gồm phép cộng (+) và phép nhân (.) thoả mãn các điều kiện sau :
X cùng với phép cộng là một nhóm Abel.
Phép nhân có tính chất kết hợp :
Với mọi x,y,z
X .Ta có :x(yz) =(xy)z .
c.Phép nhân phân phối đối với phép cộng :
Với mọi x,y,z
X .Ta có :
x(y + z) = xy + xz .
(y + z)z = yx + zx.
Nhóm (X,+) được gọi là nhóm cộng của vành X .Phần tử trung lập của phép cộng gọi là phần tử không , kí hiệu 0.Phần tử đối xứng của phần tử x
X gọi là phần tử đối của x ,kí hiệu là –x.
Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán . Vành X được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị ,phần tử đơn vị của X kí hiệu là e hay 1.
2.Một số tính chất suy ra từ định nghĩa .
Với mọi x,y,z
X ta có :
x(y-z) =xy – xz
(y – z)x = yx – zx .
b.Với mọi x
X .Ta có :
0.x = x.0 = 0.
c.Với mọi x,y
X .Ta có :
x(-y) = (-x)y = -xy
(-x)(-y) = x.y .
d. Với mọi xi,yi
X ,Ta có :
(x1 + x2 +…+ xm)(y1 + y2 + …+ yn ) =

xiyj .Tính chất trên gọi là luật phân phối tổng quát .
3.Vành con.
3.1 Định nghĩa.
Giả sử X là một vành và A là một tập con khác rỗng ổn định đối với hai phép toán trong X.A được gọi là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành.
3.2 Định lý .
Giả sửA là một tập con khác rỗng của vành X .Khi đó các điều kiện sau là tương đương :
A là vành con của X.
Với mọi x,y
A , ta có x + y
A ,x.y
A , và -x
A.
Với mọi x,y
A , ta có x - y
A và x.y
A.
4.Ideal.
4.1 . Định ngh ĩa.
Giả sử X là một vành .
Vành con Acủa X gọi là ideal trái của X nếu xa
A ,
x
X và a
X.
Vành con A của X gọi là ideal phải của X nếu ax
A ,
x
X và a
X.
Vành con A của X gọi là ideal của X nếu A vừa là ideal trái vừa là ideal phải của X .

Đối với vành giao hoán , các khái niệm ideal trái ,ideal phải và ideal là trùng nhau.
Giả sử X là vành có đơn vị và A là một ideal của X chứa đơn vị của X .khi đó A = X.
4.2 . Định lý.
Một tập con A khác rỗng của vành X là ideal của X khi và chỉ khi các điều kiện sau thoả mãn:
Với mọi a,b
A , ta có a - b
A .
Với mọi a
A v à x
X, ta có xa
A và ax
A .
4.3 . Định nghĩa.
A được gọi là ideal chính nếu A là ideal sinh bởi một tập hợp.
Kí hiệu : A = .
5. Vành thương.
Giả sử X là một vành và A là một ideal tuỳ ý của X .Khi đó A là nhóm con của nhóm cộng Abel X .Suy ra A là chuẩn tắc . Đã biết rằng tập thương :
X/A = {x + A : x
X } cùng với phép toán cộng :
(x + A) + (y + A) = (x + y) + A (x,y
X) là một nhóm Abel.
Ta có thể trang bị cho X/A một phép toán nhân định nghĩa như sau :
(x + A)(y +A) = x.y + A (x,y
X).
Định nghĩa này được xác định một cách đúng đắn , nghĩa là lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào lớp x + A và