TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM

Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh
Trường Phổ Thông Năng Khiếu
1
2
3
4
Xét bài toán: tính diện tích hình thang cong aABb, giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y=f(x), f(x) ≥ 0, trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b.

Giả thiết rằng hàm số y=f(x) đơn điệu, chẳng hạn như y=f(x) đồng biến trên đoạn [a;b]

Kí hiệu S(x) là diện tích giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y=f(x), trục Ox, hai đường thẳng đi qua hai điểm a và x (a ≤ x ≤ b) trên trục hoành và song song với Oy.
5
Ta sẽ chứng minh rằng S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] hay ta sẽ chứng minh với x0 tuỳ ý thuộc (a;b) ta sẽ có đạo hàm của S(x) tại x0 và S’(x0)=f(x0)
Trường hợp 1: x0 < x ≤ b: Khi đó S(x) – S(x0) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), Ox và hai đường thẳng song song với Oy đi qua x và x0.




(1)

6
Trường hợp 2: a ≤ x < x0

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(3)

vì f(x) liên tục tại x0 nên:



7
Do đó từ (3) ta có:



Điều đó có nghĩa là tồn tại đạo hàm S’(x) tại x0 và
S’(x) = f(x0)
Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b)
x0=a => S’(a+) = f(a)
x0=b => S’(b-) = f(b)
Kết Luận: S(x) là một nguyên hàm trên cả đoạn [a;b]
8
Từ phép chứng minh trên ta có:
S= S(b)
Nếu F(x) là một nguyên hàm nào đó của f(x) trên đoạn [a;b] thì tồn tạI một hằng số C sao cho:
S(x) = F(x) + C
=> S(a) = F(a) + C = 0
=> C= - F(a)

Vậy : S(x) = F(x) – F(a)

Do đó diện tích hình thang cong aABb bằng
S= F(b) - F(a)

9
ĐỊNH LÝ:
Giả sử y=f(x) là một hàm số liên tục và f(x) ≥ 0 trên đoạn [a;b], thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a và x=b là


Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) trên đoạn [a;b]
10
11
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được kí hiệu là:



Ta cũng dùng kí hiệu để chỉ kí hiệu số F(b) – F(a).
12
Vậy theo định nghĩa ta có:

(1)

Dấu ∫ là dấu tích phân, biểu thức f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x), a và b được gọi là các cận của tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, x là biến số của tích phân. Công thức (1) được gọi là công thức Newton - Leibniz .

13
Ví dụ:






Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào f, a và b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số tích phân.
Vì vậy ta có thể viết:

14
Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b]thì tích phân là diện tích của hỉnh thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x),trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b.
15
16
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa vào định nghĩa của tích phân, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất:
1.


2.


3.
17

4.


5.


6. trên đoạn [a;b] ->


7. trên đoạn [a;b]

->
18

8. trên đoạn [a;b]

->


9. t biến thiên trên đoạn [a;b]

-> là một nguyên hàm của

f(t) và G(a) = 0
19
Chứng minh các công thức:

(4)
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). G(x) là một nguyên hàm của g(x) thì F(x)+ G(x) là một nguyên hàm của f(x)+g(x). Theo định nghĩa ta có:
20
(6)
Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), ta có:
trên đoạn [a;b]. Do đó F(x) không giảm trên đoạn [a;b]. Vì vậy:
a F(a)≤F(b), cho nên

21
(7)
Công thức (7) là hệ quả của (6). Thật vậy, f(x)≥g(x) trên đoạn [a;b] => f(x)-g(x)≥0 trên đoạn [a;b].
Theo (6) ta có:
22
(8)

Vì m, M là hai hằng số nên:

và

Áp dụng (7), ta có m≤f(x)≤M trên đoạn [a;b]
23
24
Một số ví dụ tích phân đơn giản

1.
25

2.
26
3. Tính


Vì



27
Một chiếc xe đang chạy với tốc độ 80ms-1 trên đường bỗng gặp công an, tài xế phanh xe gấp xe lại, xe chuyển động chậm dần đều với gia tốc 5ms-2. Tính quãng đưởng đi được cho đến khi xe dừng hẳn?
Giải:
Gọi v là vận tốc tại một thời điểm bất kỳ sau khi xe phanh
Gốc thời gian lúc tài xế bắt đầu đạp phanh đĩa
Ta có dạng vi phân của phương trình vận tốc theo thời gian

28
Tích phân hai vế và thế cận vận tốc từ 80 ms-1 tới v, thời gian từ 0 đến t









Khi v=0 ta có: v= 80 -5t=0 => t = 16s
29
Xét khoảng thời gian dt rất nhỏ để có thề xem xe chuyển động đều trong khảong thời gian đó, quãng đường mà xe đi đuợc trong khoảng thời gian đó là ds=vdt, => quãng đường mà xe đi đuợc cho đến lúc dừng là tổng tất cả những đoạn ds nhò đó, ta có:
30
Tính diện tích mặt ngoài của 1 đới cầu có bán kính R, bề dày h.
31
Giải:
Xét 1 đới cầu mỏng có bề dày dx = R.dα rất nhỏ ( như hình vẽ)











Ta có: diện tích mặt ngoài của đới cầu đó là
32
Diện tích mặt ngoài của đới cầu lớn có bề dày h sẽ bằng tích phân các phần tử ds từ h1 đến h2 (h1-h2=h)
Ta có:










Mà và

33
Nếu xét trường hợp h=2R, tức là toàn bộ hình cầu thì diện tích mặt ngoài của hình cầu sẽ là
34
35
36