Tích phân bội ba

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nhiều biến

Chương 4: Tích phân bội ba


Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)
[email protected]

Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.2 – Tọa độ trụ
0.3 – Tọa độ cầu
0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba
0.5 – Ứng dụng cơ học
0.4 – Ứng dụng hình học
I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E.
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của tích phân bội ba
1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này.
Định lý (Fubini)
Phân tích khối E:
Chọn mặt chiếu là x0y.
Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
Hình chiếu:
Ví dụ
Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
Mặt phía trên:
Đổi sang tọa độ cực.
Ví dụ
Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
Mặt phía trên:
và các mặt phẳng tọa độ, (phần )
Tam giác OAB
A
B
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
Mặt phía trên:
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
Mặt phía trên:
II. Toạ độ trụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.
r
z
y
x
Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ:
Đổi biến sang tọa độ trụ.
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Hình chiếu xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
Mặt phía trên:
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
Mặt phía trên:
Cận của D:
Chiếu xuống x0z
Mặt trên:
Mặt dưới:
Hình chiếu:
II. Toạ độ cầu
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.
y
x
Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:
II. Toạ độ cầu
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E được giới hạn bởi:
Chú ý:
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Xác định cận:
Đổi sang tọa độ cầu:
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Xác định cận:
Đổi sang tọa độ cầu:
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Xác định cận:
Đổi sang tọa độ cầu:
Cách 2.
Xác định cận:
Đổi sang tọa độ cầu mở rộng
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Xác định cận:
Đổi sang tọa độ cầu:
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Xác định cận:
Đổi sang tọa độ cầu:
Phải chia khối E ra làm 2 khối.
Công việc tính toán rất phức tạp.
Xác định cận:
Đổi sang tọa độ cầu mở rộng
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
Đổi sang tọa độ trụ:
Sử dụng tọa độ cầu công việc tính toán phức tạp hơn nhiều.
Xác định cận:
Ví dụ
Đổi sang tọa độ cầu rồi tính
Vẽ khối E
Xác định vật thể E:
Đổi biến sang tọa độ cầu:
Xác định cận:
Ví dụ
Đổi sang tọa độ trụ rồi tính
Vẽ khối E
Xác định vật thể E:
Đổi biến sang tọa độ trụ:
Xác định cận:
III. Ứng dụng hình học của tích phân bội ba
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E:
Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể.
Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn,
vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu.
Ví dụ
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
Sử dụng tọa độ cầu
Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp!!
Ví dụ
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
Ví dụ
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
Sử dụng tọa độ trụ
x
z
y
Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp hơn nhiều.
Ví dụ
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
Bài tập
Bài tập