Thử sức trước kỳ thi ĐH 2010



I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 ĐIỂM)
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số:
có đồ thị là (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số.
Chứng minh rằng đường thẳng
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N thuộc trên hai nhánh của (C). Khi đó hãy tìm các giá trị của m để đoạn MN ngắn nhất.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phương trình:
.
2. Giải phương trình:
.
Câu III. (1 điểm) Tính tích phân:

Câu IV. (1 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a, I là là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng của A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại D lấy một điểm S sao cho
. Gọi H là hình chiếu của I trên SA. Chứng minh rằng
và tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC.
Câu V.(1 điểm) Cho a, b, c là các số dương thuộc khoảng
và
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
II. PHẦN RIÊNG (3 ĐIỂM)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a. (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hai đường tròn
và
nằm cùng phía đối với trục tung. Biết
và
tiếp xúc với trục tung tại gốc tọa độ, có đường kính bằng 4. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của
và
.
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz. Viết phương trình đường thẳng qua điểm
đồng thời cắt cả hai đường thẳng
và
.
Câu VII.a. (1 điểm)
Cho số tự nhiên n thỏa:
. Tìm số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Niutơn của
.
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b. (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông tâm
, có một cạnh nằm trên đường thẳng
. Viết phương trình các cạnh của hình vuông đó.
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt cầu
và mặt phẳng
cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.b. (1 điểm)
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
. Hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
–––––––––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––––––––––
Ghi chú: Học sinh trình bày bài làm rõ ràng, sạch sẽ, không sử dụng bút xóa và bút chì.
GỞI Ý ĐÁP ÁN
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 ĐIỂM)
Câu I. (2 điểm)
1. (học sinh tự giải)
2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):



Đặt:

Ta có:


(d) luôn cắt (C) tai hai điểm phân biệt M và N
Mặt khác:

Vậy M, N luôn thuộc hai nhánh của (C).
Ta có:



Vậy:


Câu II. (2 điểm)
1.



Phương trình (1) có nghiệm

Phương trình (2) có nghiệm


phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi




2. Nhận xét: Theo định nghĩa của lũy thừa số mũ hữu tỉ, cơ số phải dương nên điều kiện có nghĩa của biểu thức là:
.
Đặt:
với

Ta có:



(thỏa)
Câu III. (1 điểm)
Đặt:

Đổi cận:

Khi đó:



Ta lại đặt tiếp:

Đổi cận:

Vậy:
.
Câu IV. (1 điểm)
Chứng minh:
.
Ta có:

Như vậy:

và

.
Ta có:
với:
,




Tam giác HBC có

vuông tại H

Vậy:
(đpcm)
Tính theo
thể tích của khối chóp H.ABC
Ta có:


(đvtt).
SH là đường cao của hình chóp S.HBC

Tam giác IHC có
vuông cân tại I.

vuông cân tại I

(đvdt)
Tam giác AHB vuông tại H



(đvtt).
Vậy:
(đvtt).
Câu V. (1 điểm)
Vẻ đường tròn tâm O đường kính

Do
, trên đường tròn ta lấy điểm M sao cho
.
Gọi C là điểm chính giữa của nửa cung tròn chứa điểm M

(Chú ý rằng các tam giác MAB và CAB vuông tại M và C).
Ta