Thi HSG T9

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 ( Đề 2)

Bài 1 :(2 điểm )
Phân tích đa thức thành nhân tử : (x+y+z) - x3 - y3 - z3
Bài 2: (2 điểm )
Chứng minh
thì :
(a+b+c)3 - (a + b - c)3 - (a - b + c)3- (b + c - a )3 chia hết cho 24
Bài 3: ( 2 điểm )
Cho phương trình bậc hai : x2 + 3x + 1 - p2 = 0 ( p là tham số )
Hãy tìm các giá trị nguyên của p để phương trình có nghiệm nguyên

Bài 4 : (2 điểm )
Cho A =

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết :
(0 < y < x+1)
Bài 5: ( 2 điểm )
cho a,b,c là các số thực dương chứng minh :



Bài 6 :
Giải hệ :


Bài 7 :
(2 điểm ) Xác định đường thẳng đi qua A(4,3) cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố

Bài 8 : ( 2điểm) : Cho ABC (AC > AB) , trung tuyến AD. M là điểm nằm giữa 2 điểm A ; D
Chứng minh : AC - AB > MC - MD

Bài 9 :
( 2điểm ) Cho 3 tia chung gốc Ox , Oy , Oz ( Oz nằm giữa 2tia Ox , Oy )
xOz=450 ;

xOy = 600 . Dựng đường thẳng d cắt Ox , Oy , Oz thứ tự tai A , B , C sao cho


Bài10 : ( 2 điểm )
Cho (o) và điểm P nằm ngoài đường tròn . Kẻ 2 tiếp tuyến PM, PN (M,N
(o) ) Đường thẳng P0 cắt đờng tròn (0) tại 2 điểm A ; B (A nằm giữa P; O ) và cắt đoạn MN tại Q . Vẽ cát tuyến PCD bất kỳ , gọi E là điểm đối xứng cuả C qua PO. Chứng minh D,Q,E thẳng hàng



Hướng dẫn chấm

Bài
Câu
Lời giải
điểm

Bài1
2 điểm

(x+y+z)3 - x3-y3 - z3 = (x + y)3 + 3(x +y)2z+3(x+y)z2+z3-x3-y3-z3
=x3+y3+3xy(x+y) +3(x+y)2z + 3(x+y)z2+z3-x3-y3-z3
=3(x+y)[ x.y + (x+y)z +z2 ]
=3(x+y)(x.y+x.z + yz + z2)
=3(x+y)[x(y+z) + z( y +z )]
= 3(x + y)( y+z )( z+x )
0,5 (đ)
0,5(đ)
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 2
2 điểm

đặt a+b-c = x ; a- b +c = y ; b+c -a =z
ta có x+y +z = a+b+c
x+y = 2a ; y+z = 2c ; z+x =2b
áp dụng kết quả bài 1 ta có :
(a+b+c)3 - (a+b-c )3 - (a-b+c )3 - (b+c-a)3 = (x+y+z)3 - x3-y3-z3
=3(x+y)(y+z)(z+x) = 3.2a.2b.2c
=24abc
24


0,5
0,5

0,5