Thi HSG Cap Truong

Trường THCS Nhơn Hậu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - Năm học: 2008-2009
Môn : Toán
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề)
Đề bài:
Bài 1: (2 điểm): Chứng minh rằng tích của một số chính phương với số đứng trước nó chia hết cho 12.
Bài 2: (2 điểm): a) Chứng minh rằng với x > 1 ta có :

b) Cho a > 1 , b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E =

Bài 3 (2 điểm) : Tìm các giá trị nguyên x , y thõa mãm đẳng thức : ( y + 2 ) . x2 + 1 = y2 .
Bài 4:(2 điểm) :Cho hình vuông ABCD , đường thẳng qua A cắt đường thẳng BC và CD lần lượt tại E
và F . Chứng minh rằng :

Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh không bằng nhau xác định một điểm P trong tam
giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.

------------------------------------























ĐÁP ÁN
Bài 1: (2 đ) Số chính phương là n2 ( với n
Z ) số đứng trước nó là n2 - 1
Ta có: ( n2 - 1)n2 = ( n - 1 )(n+1)n2 = (n - 1).n .n (n+ 1) (1đ)
Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 , mặc khác (n-1)n là 2 số nguyên liên tiếp nên
Chia hết cho 2 và n(n+1) chia hết cho 2 nên ( n-1)n.n(n+1) chia hết cho 4
Mà(3,4)=1 nên (n-1) .n.n .(n+1) chia hết cho 12 (1đ)
Vậy (n2 -1)n2 chia hết cho 12
Bài 2 ( 2 đ) a) x > 1 nên
Ta có:




Bất đẳng thức đúng nên suy ra điều phải chứng minh (1 đ)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm:

E =


Theo câu a ta có :
Nên E
8 Vậy Min E = 8 khi x=y =2 ( 1đ)
Bài 3:(2đ) ( y + 2 ) . x2 + 1 = y2
x2 =
x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) (1đ)
y + 2 = 1 ; 3;-1;-3 Nên y = -1 ;1;-3 ;5
do x2
nên (y2 -1)(y+2)
, y

hoặc y

do đó : y = -1 hoặc y = 1 suy ra x=0 Vậy nghiệm nguyên : (x,y)=
(1đ)
Bài 4:(2đ)Trên tia đối của tia BC Lấy điểm M sao cho BM=DF

Suy ra: góc MAB = góc FAD và AM=AF (1đ)
Từ đó suy ra
vuông tại A có đường cao AB
Và hai cạnh góc vuông AF và AE
Nên
(1đ)
Bài 5:(2đ) Gọi a , b, c là các cạnh đối diện với góc A, B, C và ha , hb , hc
Là các đường cao tương ứng. Giả sử
khi đó : ha

Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB ( 1đ)

2 S = a. PH + b . PK + c. PI
a ( PH + PK + PI)

PH + PK + PI
= ha

PH + PK + PI nhỏ nhất khi P trùng với A (1 đ)