Tam giác và các hình vuông dựng trên cạnh

Tam giác và các hình vuông dựng trên cạnh
Bài toán này hay và xuất hiện trong hầu hết các sách tham khảo lớp 8, hồi chúng tôi học lớp 8 chắc cách đây 50 năm rồi, vậy là nó đã có từ rất lâu. Tất nhiên lúc đó tôi giải không được với kiến thức của mình, sau khi được hướng dẫn vẽ thêm tôi mới làm được.
Bài toán 1. Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE và ACFG. Chứng minh rằng các đường thẳng CD, BF và đường cao AH của tam giác ABC đồng quy.


Cách giải: Dựng hình bình hành AEPG, ta chứng minh P, A, H thẳng hàng và BF, CD và PH là ba đường cao của tam giác PBC.
Kĩ năng chứng minh tam giác bằng nhau, so sánh góc và chứng minh hai đường thẳng vuông góc là quen thuộc và cần thiết trong chương trình THCS, tuy nhiên để vẽ thêm được ra điểm P thì khó, chỉ có thể suy luận từ việc nếu 3 đường đồng quy thì nó có thể là 3 đường đặc biệt của tam giác nào đó, trong trường hợp này là 3 đường cao.


Ta thấy vai trò của tam giác AEF là tương tự đối với tam giác ABC, từ đó ta có thêm các tính chất sau:
Tính chất 1: Trung tuyến AM của tam giác ABC vuông góc với EG và có độ bằng nửa độ dài EG
Tính chất 2: Các đường thẳng EC, GD và trung tuyến AM của tam giác ABC đồng quy.
Một tính chất nhỏ và dễ thấy là BG và CE là hai đoạn thẳng bằng nhau và vuông góc nhau. Từ đây nếu ta gọi 
 là tâm các hình vuông ABCD, ACFG, BCPQ thì ta có thêm các tính chất sau:
Tính chất 3: Tam giác 
 vuông cân tại M.
Tính chất 4: Các đường thẳng 
 đồng quy tại 



Để chứng minh tính chất 3, ta chỉ cần chứng minh 
 song song và bằng nửa BG, 
song song và bằng nửa CE.
Với tính chất 4, để chứng minh 3 đường đồng quy, ta chứng minh 3 đường thẳng đó là 3 đường cao của tam giác 

Từ tính chất 3, nếu gọi N là trung điểm EG, ta có tam giác 
 cũng là vuông cân. Khi đó ta có
Tính chất 5. Tứ giác 
 là hình vuông.
Các tính chất 1- 5 với các chứng minh khá sơ cấp, chủ yếu là chứng minh các tam giác bằng nhau và các em lớp 8 hoàn toàn có thể giải quyết được.
Sau đây là một số tính chất mà chứng minh cần dùng đến tứ giác nội tiếp.


Gọi A’ là giao điểm của CE và BG, khi đó ta có EC và BG vuông góc nhau tại A’. Từ đó ta có A’ thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABDE, ACFG và thuộc đường tròn đường kính BC. Từ đây ta có thêm các tính chất sau:
Tính chất 6: Các đường thẳng 
 đồng quy tại một điểm 
.
Trong tính chất 4, ta có 
 đồng quy, hơn nữa qua cách chứng minh tính chất 4 ta có 
,
mặt khác áp dụng định lý con nhím ta có tính chất sau:
Tính chất 7: 
 và tam giác 
 có cùng trọng tâm với tam giác 

Gọi 
 là giao điểm của GQ và DF, 
 là giao điểm của EP và GQ, 
 là giao điểm của DF và EP. Khi đó ta tam giác 
 có các cạnh song song với tam giác 
. Hơn nữa ta có tính chất sau:
Tính chất 8: 
 lần lượt vuông góc với 
 và 
đồng quy.


Để kết thúc bài viết xin đưa ra các tính chất sau:
Tính chất 9: Đường thẳng 
 đi qua trung điểm của 

Tính chất 10: 
 đi qua tâm của hình vuông dựng trên đoạn GF (đối xứng với 
 qua FG.


Tính chất 11: Gọi 
 là trực tâm tam giác 
 và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
. Khi đó 
 thẳng hàng.


Tính chất 11 hay và là kết quả mới nhưng tôi chưa thể chứng minh được, các bạn thử chứng minh xem sao.
Các chứng minh trên chỉ sử dụng các kiến thức khá đơn giản, ngoài ra để chứng minh các đoạn thẳng và các đường vuông góc ta có thể sử dụng phép quay, hoặc chứng minh các đường đồng quy ta sử dụng định lý Ceva dạng sin.
Ngoài những tính chất vừa nêu, còn những tính chất thú vị khác từ mô hình này, các bạn hãy tự khám phá nhé.

PHH sưu tầm & chỉnh lí tf Bài của Leave a reply (diendan toanhoc )