TAM GIÁC BA GÓC NHỌN

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TAM GIÁC NHỌN , BA ĐƯỜNG CAO . ( Phần I)

BÀI TOÁN 1 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn BD , CE và AF là ba đường cao cắt nhau tại H nội tiếp đường tròn (O; R )

I)Chứng minh các tứ giác BECD và AEHD là các tứ giác nội tiếp.
T a có :BD
AC và CE
( BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC )
Suy ra

Vậy hai điểm D và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông do đó tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC .
Ta có
(BD
AC và CE
AB )
Suy ra

Do đó tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Tương tự cách chứng minh hai tứ giác nội tiếp trên ta chứng minh được thêm bốn tứ giác nội tiếp nữa đó là các tứ giác : BEHF , CDHF , ABFD , ACFE.
KHI SÁU TỨ GIÁC NỘI TIẾP CÓ ĐƯỢC GIÚP CHO TA CHỨNG MINH THÊM ĐƯỢC KẾT QUẢ GÌ ?
1) Chứng minh AE .AB = AD.AC = AH .AF .
Cách 1 : ( sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp )
Xét hai tam giác AED và ACB ta có :

là góc chung

( Tứ giác BEDC nội tiếp )
Vậy

do đó :
suy ra AE.AB = AD.AC.
Cách 2 : ( Không sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp )
Xét hai tam giác AEC và ADB ta có :

là góc chung

(BD
AC và CE
)
Vậy

do đó :
suy ra AE.AB = AD.AC.
Dễ dàng chứng minh được
và
đồng dạng nên AE.AB = AH.AF
Tương tự cách chứng minh trên ta chứng minh được các hệ thức sau :
BE.BA = BF.BC = BH .BD và CD.CA = CF.CB = CH.CE
BIẾN ĐỔI THÊM CÁC HỆ THỨC TRÊN, TA CÓ CÁC ĐẴNG THỨC ĐẸP SAU ĐÂY :
Ta có :





TA CÓ : BH.BD +CH.CE = BC2 CH..CE +AH.AF = AC2 Và AH.AF + BH.BD = AB2
TIẾN THÊM CHÚT NỮA TA CHỨNG MINH ĐƯỢC : AH.AF + BH.BD + CH.CE =

2) Chứng minh EH là tia phân giác của
:
Ta có :
( Tứ giác BEHF nội tiếp ) và
( Tứ giác BEDC nội tiếp )
Vậy
nên EH là tia phân giác của góc FED.
Tương tự DH và FH cũng là các tia phân giác của các góc
và
do đó H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác EDF.
KHI CÓ H LÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC EDF TA
CHỨNG MINH TIẾP ĐƯỢC HAI KẾT QUẢ SAU ĐÂY :
Câu1.1 Các trung điểm I và K của các đoạn thẳng BC và AH thuộc đường tròn ngoại tiếp` các tam giác EDF.
CHỨNG MINH TỨ GIÁC EFDI NỘI TIẾP .
Cách 1 : ( Sử dụng dấu hiệu hai đỉnh CỦA tứ giác cùng nhìn một cạnh dưới góc
.)
Ta có Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm I đường kính BC
Suyra
(liên hệ góc ở tâm và góc nội tiếp cúng chắn một cung )
Mà
( FH là tia phân giác của góc EFD )
Và
nên
suy ra tứ giác EFID nội tiếp ( hai đỉnh F và I
cùng nhìn cạnh ED dưới một góc
.

Cách 2 : (sử dụng dấu hiệu góc ngoài của tứ giác )
Ta có : ID =IC ( Hai bán kính của đường tròn (I) ) suy ra tam giác DIC cân tại I nên

Hai tam giác AED và BEF cùng đồng dạng với tam giác ACB nên

Mà
.Vậy
do đó tứ giác EFDI nội tiếp .
TƯƠNGTỰ TA CŨNG CHỨNG MINH ĐƯỢC TỨ GIÁC FEKD NỘI TIẾP .
Vậy các điểm I và K cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EDF .
Ta có chỉ ra được tâm W của đường tròn đi qua năm điểm E, D, F , I , K ờ trí nào không ? Bán kính của đường tròn này liên hệ với bán kính đường tròn (O) thế nào ?
Do năm điểm E, D, F , I , K cùng thuộc đường tròn tâm W mà
nên KI là đường kính của đường tròn (W) hay nói cách khác W là trung điểm của KI .
Bằng cách kẻ thêm đường kính AQ của đường tròn (O) và chứng minh tứ giác BHCQ là hình bình hành từ đó suy ra H, I , Q thẳng hàng , đến đây ta dễ dàng suy ra KI là đường trung bình của

Vậy KI =
nên R(W)=

Câu