Tài liệu toán ôn thi vào 10

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho chương trình lớp 9 và ôn thi vào lớp 10)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn .
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó:

Dạng 2: b = 0 khi đó


- Nếu
thì
.
- Nếu
thì phương trình vô nghiệm.

Dạng 3: Tổng quát

CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN







: phương trình có 2 nghiệm phân biệt



: phương trình có 2 nghiệm phân biệt




: phương trình có nghiệm kép



: phương trình có nghiệm kép




: phương trình vô nghiệm

: phương trình vô nghiệm


Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích.

3. Hệ thức Viet và ứng dụng
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:


- Nếu có hai số u và v sao cho

thì u, v là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0.
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 =
.
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 =
.
4. Điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)
- (1) có 2 nghiệm
; có 2 nghiệm phân biệt
.
- (1) có 2 nghiệm cùng dấu
.
- (1) có 2 nghiệm dương

- (1) có 2 nghiệm âm

- (1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5. Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.


Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Giải các phương trình sau



Giải


Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..


Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..


Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..


Có

Theo hệ thức Viet, có:

e) Đặt
, ta có pt mới: t2 – 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t1 = 1; t2 = 3.
Suy ra: x1 = 1; x2 = 9.
f)

Đặt x2 + 5x + 4 = t, ta có:
t .(t + 2) = 3

Suy ra:

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2. Cho phương trình x2 + 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.
b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
1. 2x1 + 3x2 = 13.
2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x12 + x22 = 11.
e) Chứng tỏ rằng
là nghiệm của phương trình mx2 – 3x – 1 = 0. Trong đó x1, x2 là hai nghiệm của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai nghiệm đó.
Giải
a) Với m = 4 ta có: x2 + 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 =

b) có:






phương trình vô nghiệm.
c) Phương