Tài liệu bồi dưỡng hsg

thi học sinh giỏi - môn toán 9 - đề 1
(Thời gian 150 phút )
Câu 1: (3đ) a. Rút gọn biểu thức : A =
b. Tìm GTNN của A =
c. Giả sử x, y là các số thực dương thoả mãn : x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
Câu 2: (2đ) a. minh : Với số dương a thì
b. Tính S =
Câu 3: (3 đ)a) Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dương và =
b) Tìm a , b , c biết : a = ; b = ; c =

c. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c
0

Tính P = (2008+
)(2008 +
) ( 2008 +
)
Câu 4: (2 đ) Giải hệ phương trình
Câu 5: (2đ)
Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I thỏa mãn
BD.CE = 2BI.CI. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
Câu 6: (2đ)
Cho tam giác MNP có và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài các cạnh của tam giác.
Câu 7: (3đ)
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Giọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác. Đường vuông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự ở M, N chứng minh rằng: a. AM.BN = IM2 = IN2 ; b.
Câu 8: (2đ) Giải các phương trình sau
a) ; b)
-------------------- ----------------------




Đáp án - đề 1
Câu 1:( 3 điểm):
a.(1 điểm) Rút gọn : A=
=
= = =
b. (1 điểm) Tìm GTNN của A =
A = 1 - + = 2006 + 1 –


= 2006 + GTNN của P = khi x = 2006
c.(1 điểm) Ta có: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = 1 hay x3 + y3 + 3xy = 1.Thay vào biểu thưc A ta có:
A = =
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Vậy A Vậy minA = x = y =
hoặc x = ; y =
Câu 2 : (2đ) a/ Ta có :
Mà Do đó
b/ áp dụng c/m câu a ta có : S = =
Câu 3: (3đ)
a) Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dương và =
áp dụng bất đẳng thức Cô-Si :
2 =
Vì a ; b ; c là các số dương
2 = 2 ;
2 =
. 2 . =
= ( 0.25đ) ( 0.5đ)
b) Tìm a , b , c biết : a = ; b = ; c =
Nhận xét các số a ; b ; c là các số dương , áp dụng bất đẳng thức Co-si (0 .25đ)
1+ b2 2b a = = b
1 + c2 2c b = = c
1 + a2 2a c = = a
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; (3 ) ta có a = b