TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 6,7,8,9

CHƯƠNG I
PHÉP CHIA HẾT – PHÉP CHIA CÓ DƯ – ĐỒNG DƯ THỨC.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Phép chia hết.
1.1 Định nghĩa: Cho hai số nguyên bất kỳ a và b ( b0 ) tồn tại một và chỉ một cặp số nguyên q và r sao cho: a = b.q + r với 0 r <
- Nếu r = 0 thì a chia hết cho b ( hay a là bội của b, hay b chia hết a hay b là ước của a. (b a)
- Nếu r 0 thì phép chia a cho b là phép chia có dư.
1.2 Một số tính chất.
Với a, b, c, d Z.
- Nếu a 0 thì
- Nếu và thì

- Nếu và thì a = b
- Nếu thì
- Nếu thì
Hệ quả: và (b, c) = 1 thì
- Nếu và ( b, c ) = 1 thì
1.3. Một số định lý thường dùng:
- Nếu và thì a b c
- Nếu và b thì a b c
- Nếu a c và b d thì ab cd
Hệ quả Nếu a b thì an bn ( n
Nếu a c hoặc b c thì ab c
1.4. Dấu hiệu chia hết.
Gọi số A=
Số dư A : 2k ( hoặc 5k ) = số dư 2k ( hoặc 5k) ( Với k N, k1)
Số dư A : 9 ( hoặc 3) = số dư ( an + an-1 + …+ a1) : 9 ( hoặc 3)
Số dư A : 11 = số dư [( a1 + a3 …) – (a2 + a4 +…)]: 11
Điều kiện để một số chia hết cho 4 ( hoặc 25) là số gồm hai chữ số cuối cùng chia hết cho 4 ( hoặc 25).
Điều kiện để một số chia hết cho 8( hoặc 125) là số gồm ba chữ số cuối cùng chia hết cho 8 ( hoặc 125).
Điều kiện để một số tự nhiên chia hết cho 11 là là tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ tổng các chữ số ở hàng chẵn chia hết cho 11.
2. Đồng dư thức.
2.1. Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c ( c 0) có cùng số dư, ta nói a đồng dư với b theo modun c kí hiệu a
b ( mod c).
Vậy a
b ( modun c) a – b c
2.2. Một số tính chất.
Với mọi a, b, c, d, m Z+ (Z+ là tập hợp các số nguyên dương )
a) a
a ( mod m)
a
b ( mod m) b
a( mod m)
a
b ( mod m) và b
c ( mod m) a
c ( mod m)
b) a
b ( mod m); c
d ( mod m)
a + c
b + d( mod m)
a
b ( mod m) ; c
d ( mod m)
a - c
b - d ( mod m)
c) a
b ( mod m) ; c
d ( mod m)
ac
bd ( mod m)
Nếu d là ước chung dương của a, b và m thì:
a
b ( mod m)
mod
a
b ( mod m); c là ước số chung của a và b và (c, m) =1

mod m )
e) a
b ( mod m); c > 0
ac
bc ( mod mc)
Chú ý.
( Với mọi a, b Z ( a b), n N ta có an – bn a – b
( Trong n số tự nhiên liên tiếp ( n 1) có một và chỉ một số chia hết chon.
( Trong n + 1 số nguyên bất kỳ (n 1 ) chia cho n thì phải có hai số khi chia cho n có cùng số dư ( Vận dụng nguyên tắc Đirichlet)
( Tìm k chữ số tận cùng của số A là tìm số dư khi chia khi chia A cho 10k.
BÀI TẬP.
Bài 1: Chứng minh rằng
a) n3 - n 6 ( n Z)
b) m3n – nm3 6
c) n( n + 1 )( 2n + 1 ) 6
d) S