Sử dụng pp lý thuyết tổ hợp để giải toán tiểu học

chào các bạn
Chuyên đề thực hành giải toán ở tiểu học
§6 Phương pháp của lý thuyết tổ hợp
Phương pháp của lý thuyết tổ hợp gồm:
6.1. Nguyên tắc cộng:

Nếu có thể thực hiện một công việc nào đó bằng m cách loại I và n cách loại II trong đó không có cách loại I nào trùng với cách loại II nào thì sẽ có m+n cách thực hiện công việc đó.
Ví dụ 1: Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số chia hết cho 11.
Bài giải:

Các số chia hết cho 11 lập được từ 3 số trên có thể là số có 2 chữ số hoặc là số có 3 chữ số.
Các số có 2 chữ số chia hết cho 11 là: 11; 22; 33.
Các số có 3 chữ số chia hết cho 11 là: 132; 121; 231.
Vậy số các số phải tìm là: 3 + 3 = 6 ( số ).
Ví dụ 2: Cho 3 chữ số khác 0 liên tiếp. Hỏi lập được bao nhiêu số lẻ có 2 chữ số khác nhau lập trong 3 chữ số đã cho.

Bài giải:

Trường hợp 1: Trong 3 chữ số đó có 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ thì ta lập được 2 số lẻ có hai chữ số khác nhau.
Trường hợp 2: Trong 3 chữ số đó có 1 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ thì ta lập được 4 số lẻ có hai chữ số khác nhau
. Vậy số các số phải tìm là : 4 + 2 = 6 ( số )

Đáp số : 6 số

Bài tập ứng dụng


Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 3.

Bài 2: Lớp 5A có 40 học sinh, lớp 5B có 35 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh đi tham dự cuộc thi kể chuyện về Bác Hồ do thành phố tổ chức.

Bài 3: Khi viết các số từ 1 đến 50 phải dùng bao nhiêu chữ số 0 và bao nhiêu chữ số 3.
6.2 Nguyên tắc nhân
Nếu có m cách cách thực hiện công việc I và n cách thực hiện công việc II, thì sẽ có m × n cách thực hiện liên tiếp 2 công việc I và II.
Ví dụ 1: Đi từ A đến B có 3 con đường. Đi từ B đến C có 5 con đường. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ A đến C.
Bài giải:
Số con đường đi từ A đến C là :
3 × 5 = 15 ( con đường )
Đáp số: 15 con đường
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số, trong mỗi số chỉ có một chữ số 5 và là số chẵn.
Bài giải:
Các số phải tìm có một trong các dạng a5c, 5bc
Vì a # 0, a # 5 nên a có 8 cách chọn
Vì c là số chẵn nên c có 5 cách chọn
Số các số có dạng a5c là : 8 × 5 = 40 ( số )
Vì b # 5 nên b có 9 cách chọn.
Số các số có dạng 5bc là: 9 × 5 = 45 ( số )
Vậy số các số cần tìm là : 40 + 45 = 85 ( số )


Ví dụ 3 : Người ta đánh máy các chữ số 1, 2, 3, 4,……. để dán vào từng trang một quyển sách có 300 trang. Hỏi phải gõ vào máy chữ bao nhiêu lần ( chỉ tính những lần gõ vào chữ số và giả thiết không có lần nào gõ nhầm) ?
Bài giải:
Vì phải đánh máy 300 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 300, trong đó có :
Từ 1 đến 9 có 9 số có 1 chữ số
Từ 10 đến 99 có 90 số có 2 chữ số
Từ 100 đến 300 có 201 số có 3 chữ số
Đánh 1 chữ số phải gõ vào máy một lần nên số lần gõ vào máy bằng số có trong 300 số đó. Nên số lần gõ là:
1× 9 + 2 × 90 + 3 × 201 = 792 ( lần )
Đáp số: 792 lần
Bài tập ứng dụng
Bài 1: Lớp 5A có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo chủ nhiệm cần chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ đi tham dự Hội khỏe phù đổng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 2: Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số mà tổng của 4 chữ số đó là số chẵn.
Bài 3: Tìm các số có 4 chữ số mà trong mỗi số không chứa chữ số 5 ở hàng nghìn và hàng trăm.
Bài 4: Giả sử bạn cần mua 1 áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn về màu và cỡ áo.
Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 5.
6.3 Nguyên tắc chiếc lồng chim
Nếu chỉ có n chiếc lồng mà phải nhốt n + 1 con chim vào các lồng đó thì sẽ có ít nhất 2 con chim được nhốt chung trong một chiếc lồng.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng trong bốn số tự nhiên bất kỳ, luôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 3.
phân tích:
Khi chia một số tự nhiên cho 3, thì số dư có thể là 0, 1 hoặc 2 ( trong phép chia cho 3 có 3 số dư khác nhau) khi chia 4 số tự nhiên cho 3 ta sẽ được 4 số dư. Vì trong các phép chia naỳ chỉ có 3 số dư khác nhau nên theo nguyên tắc chiếc lồng chim phải có ít nhất hai số dư bằng nhau. Vậy hai số tự nhiên(là số bị chia của hai phép chia này) có cùng số dư khi chia cho 3 nên hiệu của chúng chia hết cho 3.
Nguyên tăc lồng chim được ứng dụng ở chỗ: Ta có 4 số dư của 4 phép chia mà chỉ có 3 số dư khác nhau trong các phép chia này nên phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau.


Lời giải


Trong các phép chia cho 3 chỉ có 3 số dư khác nhau là 0, 1 và 2.
Khi chia 4 số tự nhiên bất kỳ cho 3 phải có 2 phép chia có số dư bằng nhau.
Vì vậy hiệu của hai số tự nhiên (là số bị chia của hai phép chia này) sẽ chia hết cho 3.
Ví dụ 2: Trong kho một cửa hàng rau quả có 16 thùng đựng 3 loai quả: chanh, cam, táo (mỗi thùng chỉ đựng một loai quả). Có thể tìm được 6 thùng đựng cùng một loại quả hay không?
Phân tích
Nếu không có 6 thùng nào đựng cùng một loại quả thì có nghĩa là mỗi loại quả chỉ có không quá 5 thùng.
Bây giờ ta để riêng 1 thùng, 15 thùng còng lại ta chia ra thành ba nhóm, mỗi loại quả xếp vào một nhóm. Như vậy mỗi nhóm sẽ có 5 thùng (vì không có 6 thùng nào đựng cùng một loại quả). Bây giờ ta lấy thùng thứ 16 ra, nó phải được xếp vào một trong ba nhóm trên. Xếp vào nhóm nào thì nhóm đó sẽ có 6 thùng.
Nguyên tắc chiếc lồng chim được ứng dụng ở chỗ: có 16 thùng chia ra thành 3 nhóm thì phải có một nhóm có nhiều hơn 5 thùng (ít nhất 6 thùng).

Lời giải

Ta phân chia 16 thùng đựng hoa quả thành ba nhóm: các thùng đựng cùng một loại quả ta xếp vào một nhóm.
Vì 3 × 5 = 15 < 16 nên, theo nguyên tắc chiếc lồng chim phải có ít nhất 1 nhóm có 6 thùng cùng đựng một loại quả.
Ví dụ 2: Lớp 5B có 40 học sinh. Liệu có 4 học sinh lớp 5B cùng tổ chức sinh nhật trong 1 tháng hay không?
Bài giải:
Ta chia danh sách 40 bạn học sinh lớp 5B thành 12 nhóm: những bạn có sinh nhật cùng 1 tháng thì xếp vào 1 nhóm
Vì 12 × 3 = 36 < 40 nên theo nguyên tắc lồng chim thì phải có ít nhất 1 nhóm có 4 học sinh. Vậy nhóm có 4 học sinh này sẽ tổ chức sinh nhật trong cùng một tháng.
Bài tập ứng dụng
Bài 1: Có hai bút chì màu xanh, hai bút chì màu đỏ, và hai bút chì màu vàng để trong thùng tối.Phải lấy ra ít nhất mấy cái bút chì để được ba màu khác nhau?
Bài 2: Có 20 chiếc can gồm 3 loại: 3 lít, 5 lít và 10 lít.Có thể tìm được 7 chiếc can cùng loại hay không?
Bài 3: Chứng tỏ rằng trong 101 số có ba chữ số luôn tìm được hai số mà hiệu của chúng là số tròn trăm.
Bài 4: Trên giá sách có 2 cuốn sách toán, 2 cuốn sách Tiếng Việt, 2 cuốn sách Đạo đức và 2 cuốn sách Hát nhạc.Hỏi phải lấy ra ít nhất mấy cuốn để được
a. 2 cuốn cùng môn?
b. 4 cuốn có môn khác nhau?
Bài 5: Lớp 5B có 40 học sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 20 bạn cùng giới.
chúc các bạn thành công